Enunciado

Um oscilador harmônico simples é formado por um bloco de massa 2,00   k g preso a uma mola de constante elástica 100   N / m . Em t = 1,00   s , a posição e a velocidade do bloco são x = 0,129   m e v = 3,415   m / s . (a) Qual é a amplitude das oscilações? Qual era (b) a posição e (c) a velocidade do bloco em t = 0   s ?

Passo 1

Falaaa galerinha bonita, tudo beleza?

Saca só, nesse exercício aqui a gente tem oscilador harmônico formado por um bloco de 2,00   kg preso a uma mola de constante elástica 100   N/m . E dado que em t = 1   s a posição e a velocidado do bloco são x = 0,129   m e v = 3,415   m/s , o enunciado nos pede para encontrar (a) a amplitude das oscilações e também (b) a posição e (c) a velocidade do bloco em t = 0   s .

Belezoca, pra isso a gente pode lembrar que a posição angular é dada pela equação:

x = A . cos ⁡ ω t + φ

Enquanto que a velocidade é dada por:

v = - A ω . sen ⁡ ( ω t + φ )

Onde A é a amplitude que precisamos encontrar no item (a). E como o enunciado nos deu os valores da velocidade e da posição em t = 1,0 0   s , podemos primeiro encontrar o ângulo de fase φ e a frequência angular ω , pra ai sim a gente poder achar o valor da amplitude A .

Passo 2

Iradoso, a frequência angular ω a gente pode determinar através da equação:

ω = k m

Tal que:

ω = 100   N/m 2,00   kg

ω = 7,07   rad/s

Show de bolinhas, agora a gente precisa determinar o valor do ângulo de fase φ , e já que a gente é malandro, podemos dividir a equação da velocidade pela equação da posição, de modo que:

v x = - A ω . sen ⁡ ω t + φ A . cos ⁡ ω t + φ

v x = - ω . ta n ⁡ ω t + φ

Isolando o ângulo de fase, vamos obter:

tan ⁡ ω t + φ = - v ω x

φ = arctan ⁡ - v ω x - ω t

Em t = 1,0 0   s temos v = 3,415   m/s , x = 0,129   m e como acabamos de encontrar ω = 7,07   rad/s , sendo assim, vamos obter que o ângulo de fase será:

φ = arctan ⁡ - 3,415   m/s 7,07   rad/s 0,129   m - 7,07 1,00

φ = arctan ⁡ 3,74439 - 7,07 1,00

φ = - 8 , 3 8   rad

Maravilha, então se a gente pegar por exemplo a equação da posição em t = 1,00   s , vamos obter que:

x = A . cos ⁡ ω t + φ

0,129 = A . cos ⁡ 7,07 1,00 - 8,38

De modo que isolando a amplitude A , descobrimos que:

A = 0,129 cos ⁡ - 1,31

A = 0,500   m

Passo 3

Belezinha, agora que já encontramos os valores da amplitude A , da frequência angular ω e o ângulo de fase φ , podemos encontrar a posição em t = 0   s . Pra isso vamos pegar a equação que usamos no passo 2:

x = A . cos ⁡ ω t + φ

De modo que:

x = 0,5 cos ⁡ 7,07 t - 8 , 38

Então em t = 0   s :

x = 0,5 cos ⁡ - 8,38

x = - 0,251   m

Enquanto que na letra (c), a velocidade vai ser dada como:

v = - A ω . sen ⁡ ( ω t + φ )

v = - 0,5 7,07 sen ⁡ 7,07 0 - 8,38

v = 3,06   m/s

Resposta

(a) A = 0,500   m

(b) x 0 = - 0,251   m

(c) v 0 = 3,06   m/s

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