Enunciado

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11.13E Os satélites de comunicação devem parecer estacionários quando vistos de um ponto fixo na Terra. Isso significa que eles devem orbitar em círculos no plano do equador do equador, com período igual ao de revolução da Terra ( 23 h 56 m ). Calcule o raio de suas órbitas.

Passo 1

Show de bolinha galera, se o satélite está em órbita circular podemos dizer que a força centrípeta se iguala coma força gravitacional de maneira se anulam e fazem com que o corpo passe a descrever um movimento circular uniforme em torno do centro do planeta. Sendo assim a força gravitacional em ponto r distante do centro da Terra é:

F G = G M T m r 2

Onde M T e m são as massas da Terra e do satélite respectivamente. Já a força centrípeta é expressa pelo produto da massa do satélite pela aceleração centrípeta a C :

F C = m a C

Onde essa aceleração pode ser expressa em termos da velocidade angula ω :

a C = v 2 r = ω r 2 r

a C = ω 2 r

Portanto, se a gente igualar as força, obtemos que:

m ω 2 r = G M T m r 2

ω 2 = G M T r 3

Passo 2

Mas calma lá chefe, agora que começa a malandragem, porque podemos relacionar essa velocidade angular ω com o período T da órbita geossincronizada do satélite de acordo com a expressão:

T = 2 π ω

Logo:

ω = 2 π T

Então se a gente substituir essa expressão na igualdade, teremos:

2 π T 2 = G M T r 3

Dessa maneira, o raio da órbita do satélite pode ser dado como:

r = G M T T 2 π 2 1 / 3

E como a gente foi um bom menino esse ano, o Papai Noel dos enunciados fez a boa pra galera e passou a visão que o período que o satélite tem que sincronizar é igual ao da Terra T = 23 h 56 m , então se a gente passar isso pra segundos, teremos que:

T = 23 60 × 60 + 56 60

T = 86   160   s

Passo 3

Substituindo então os valores na expressão, vamos obter que:

r = 6,67 × 10 - 11 5,9 × 10 24 86   160 2 π 2 1 / 3

r = 4,22 × 10 7   m

Resposta

v f ≈ 7,9   km/s

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