Enunciado

13.14P* A) Mostre que as raízes enésimas da unidade são z m = e i m 2 π n ,   m = 1 ,   2 ,   … ,   n . B) Mostre que em um gráfico no plano complexo x ,   y i , os pontos z m formas os vértices de um polígono de n lados inscritos no círculo de raio 1 .

Passo 1

Belezoca de motoca galerinha, saca só, temos a representação imaginária do nosso número z , tal que:

z = x + i y

E além disso, queremos sua raiz n-ésima, do tipo:

z 1 n = z n

Ou seja, queremos um número tal que:

ω = z 1 n

Onde ω é a nossa raiz. Logo:

ω n = z

Passo 2

Show de bolinhas, agora que a brincadeira começa a ficar divertida. Se liga, um número complexo também pode ser expresso da forma polar, tal que:

z = a cos ⁡ ϕ + i sen ⁡ ϕ

Da mesma maneira para ω , mas com outros parâmetros, temos:

ω = b cos ⁡ θ + i sen ⁡ θ

Onde a e b são os respectivos módulos de cada número imaginário. Logo, nossa igualdade será:

ω n = z

b cos ⁡ θ + i sen ⁡ θ n = a cos ⁡ ϕ + i sen ⁡ ϕ

b n cos ⁡ θ + i sen ⁡ θ n = a cos ⁡ ϕ + i sen ⁡ ϕ

Passo 3

Mas calma lá jovem mancebo, porque o bizu master aqui, é a gente aplicar a Fórmula de De Moivre, que nos diz que, para parâmetros unitários a seguinte igualdade é satisfeita:

cos ⁡ θ + i sen ⁡ θ n = cos ⁡ n θ + i sen ⁡ n θ

E se a gente substituir na equação, obtemos que:

b n cos ⁡ θ + i sen ⁡ θ n = a cos ⁡ ϕ + i sen ⁡ ϕ

b n cos ⁡ n θ + i sen ⁡ n θ = a cos ⁡ ϕ + i sen ⁡ ϕ

Logo:

b n cos ⁡ n θ + b n i sen ⁡ n θ = a cos ⁡ ϕ + a i sen ⁡ ϕ

Então pela semelhança de números imaginários, chegamos nas igualdades:

b n cos ⁡ n θ = a cos ⁡ ϕ b n i sen ⁡ n θ = a i sen ⁡ ϕ

Portanto:

b n = a ,     n θ = ϕ + 2 m π

Onde m representa o número n de voltas que o ângulo ϕ pode dar para um dado n θ , tal que m = 0 ,   1 ,   … ,   n - 1 . Sabendo disso, podemos voltar na nossa igualdade e substituir os termos, tal que:

ω = z 1 n

ω = a 1 n cos ⁡ 1 n ϕ + 2 m π + i sen ⁡ 1 n ϕ + 2 m π

ω = a 1 n cos ⁡ ϕ + 2 m π n + i sen ⁡ ϕ + 2 m π n

Portanto a raiz n-ésima de um número complexo z é dada pela expressão:

ω = a n cos ⁡ ϕ + 2 m π n + i sen ⁡ ϕ + 2 m π n

Onde ϕ é nosso conhecidíssimo ângulo expresso pela relação:

ϕ = arctan ⁡ y x

Dado o número complexo z = x + i y .

Passo 4

Show, descobrimos então como encontrar a raiz n-ésima de qualquer número expresso como:

z = x + i y

MAAASSS, o enunciado quer a gente faça isso para o número 1 .

Mas se liga só, no número imáginario, representamos a parte imaginária y i e a parte real x , no caso do número 1 temos somente a parte real, tal que:

z = 1 + 0 i

De forma que x = 1 e y = 0 . Belezoca, então o módulo desse número será:

z = 1 2 + 0 2

z = 1

Dessa maneira, podemos expressar as raízes como:

ω = a n cos ⁡ ϕ + 2 m π n + i sen ⁡ ϕ + 2 m π n

ω = 1 n cos ⁡ ϕ + 2 m π n + i sen ⁡ ϕ + 2 m π n

ω = cos ⁡ ϕ + 2 m π n + i sen ⁡ ϕ + 2 m π n

Além disso, vamos ter que o ângulo ϕ será:

ϕ = arctan ⁡ y x

ϕ = arctan ⁡ 0 1

ϕ = arctan ⁡ 0 = 0

Portanto as raízes de z serão da forma:

ω = cos ⁡ 2 m π n + i sen ⁡ 2 m π n

Passo 5

Iradoso, só que agora podemos lembrar da representação de Euler para um número imaginário que diz que:

z = z e i θ

E como vimos, o módulo da nossa unidade é 1 , z = 1 . E além disso, nosso ângulo θ é dadao por:

θ = 2 m π n

Logo, podemos reescrever nossa representação como:

z = e i m 2 π n

Resposta

  1. Demonstração
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