Enunciado

13.16P Um oscilador massa-mola forçado tem seu movimento regido pela equação:

50,00   g . x ' ' + 5,000 × 10 - 3 N s -1 . x ' + 5,000   Ncm¹ . x = 0

Sendo x 0 = 10   cm , v 0 = 0 , calcule a expressão para x t .

Passo 1

Show de bolinhas galera, se a gente passar os valores para as unidades do sistema internacional, teremos:

0,05   kg   x ' ' + 0,005   N s -1   x ' + 500   N m -1 . x ' = 0

Logo, descobrimos a seguinte equação diferencial de segunda ordem:

0,05   x ' ' + 0,005   x ' + 500   x = 0

E como queremos encontrar a uma solução x , devemos lembrar das aulas de cálculo e modelarmos essa solução.

Passo 2

Belezoca, o primeiro passo pra gente modelar essa EDO, é a gente encontrar as raízes da equação, saca só, trocamos x por u , tal que:

0,05   u 2 + 0,005 u + 500 = 0

E resolvendo essa equação do segundo grau, temos que:

u = - 0,005 ± 0,005 2 - 4 0,05 500 2 0,05

u = - 0,005 ± 10 i 0,1

Isso quer dizer que nossa EDO possui raízes complexas do tipo:

u = - 0,05 s ± 100 i s -1

E quando isso acontece, a solução dessa equação diferencial é modelada pela relação:

x = e α t c 1 cos ⁡ β t + c 2 sen ⁡ β t

Onde α e β são os componentes da raiz complexa u = α + β i , tal que:

α = - 0,05   s

β = 100   s -1

Sendo assim, nossa solução terá o formato:

x t = e - 0,05 s   t c 1 cos ⁡ 100   s -1   t + c 2 sen ⁡ 100   s -1   t

Passo 3

Então agora a gente precisa é encontrar essas tais constates c 1 e c 2 da nossa solução, MAAAASSSSS o enunciado com toda caridade do mundo nos contemplou com duas informações cruciais. A primeira é que x 0 = 0,1   m , logo:

x 0 = e - 0,05 s   0 c 1 cos ⁡ 100   s -1   0 + c 2 sen ⁡ 100   s -1   0 = 0,1

Logo:

e 0 c 1 cos ⁡ 0 + c 2 sen ⁡ 0 = 0,1

1 c 1 + 0 = 0,1

c 1 = 0,1   m

Agora a segunda informação maliciosa é que v 0 = 0 , ou seja, a velocidade no tempo t = 0 é nula. E como temos a equação da posição, pra encontrarmos a velocidade, é só a gente derivar a nossa posição, saca só:

v = x '

v = e - 0,05 s   t 0,1 cos ⁡ 100   s -1   t + c 2 sen ⁡ 100   s -1   t '

E aplicando a regra do produto, mais a regra da cadeia, obtemos que:

v t = - 0,05 e - 0,05 x 0,1 cos ⁡ 100   s -1   t + c 2 sen ⁡ 100   s -1   t + e - 0,005 x 10 sen ⁡ 100   s -1   t + 100 c 2 cos ⁡ 100   s -1   t

Logo em v 0 , temos:

v 0 = - 0,05 0,1 + 100 c 2 = 0

c 2 = 0,00005

Dessa maneira, nossa solução pode ser expressa como:

x t = e - 0,05 s   t 0,1   m cos ⁡ 100   s -1   t + 0,00005   m sen ⁡ 100   s -1   t

E essa resposta já está certa, MAAAASSSSSS, podemos fazer uma leve aproximação. Saca só, o nosso c 2 = 0,00005 é MUUUUITOOO menor que nosso c 1 = 0,1 , e ambos estão multiplicando funções trigonométricas sin ⁡ a e cos ⁡ a que variam entre 1 e - 1 . Sendo assim, o valor de 0,00005   não vai interferir em quase nada do valor da expressão, devido a grandexa de c 1 , e dessa maneira podemos aproximar c : 2 para 0 sem grandes percas. Logo a expressão pode ser dada como:

x t = e - 0,05 s   t 0,1   m cos ⁡ 100   s -1   t

Ou também em centímetros:

x t = 10   cm   e - 0,05 s   t cos ⁡ 100   s -1   t

Resposta

x t = 10   cm   e - 0,05 s   t cos ⁡ 100   s -1   t

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