Enunciado

132- Uma competição de atletismo é realizada em um planeta de um sistema solar distante. Um arremessador de peso lança o peso de um ponto 2,0 m acima do nível do solo. Um gráfico estroboscópico da posição do peso aparece na Fig. 4-61, em que as leituras foram tomadas a cada 0,50 s e o peso foi arremessado no instante t = 0.

(a)Qual é a velocidade inicial do peso, em termos dos vetores unitários?

(b) Qual é o módulo da aceleração de queda livre no planeta?

(c) Quanto tempo após ter sido arremessado o peso toca o solo?

(d) Se um arremesso de peso for feito na Terra nas mesmas condições, quanto tempo após o lançamento o peso tocará o solo?

Passo 1

A distância total percorrida pelo peso na figura estroboscópica é de s = 25   m e o tempo total desse trajetória é de 5 fotos tiradas com o intervalo de 0.5 s assim sendo.

t t = 5 × 0.5 = 2.5   s

Logo a componente horizontal da velocidade do peso será igual a:

v x = s t t = 25 2.5 = 10   m / s

Para encontrar a componente vertical da velocidade vamos utilizar o tempo total para o peso ir do ponto inicial até o chão.

Δ y = 0 = v 0 y t - g t 2 2

2.5 v 0 y = 2.5 2 g 2

v 0 y = 1.25 g

Passo 2

O que nos dá a necessidade de encontrar uma outra equação, uma vez que estamos em outro planeta e esse outro planeta, além de ter uma outra língua (provavelmente), também tem uma outra gravidade.

Para isso vamos utilizar outro ponto, como o primeiro que é ( 5,6 ) . O que nos dá uma equação igual a:

O tempo que o peso leva para sair da origem até o primeiro ponto é de 0.5   s , o que nos dá uma equação de movimento igual a:

Δ y = 6 - 2 = 0.5 v 0 y - 0.5 2 g 2

4 = 0.5 v 0 y - 0.125 g

Substituindo a equação encontrada no passo 1 nessa última equação nós teremos:

4 = 0.5 1.25 g - 0.125 g

b) A gravidade desse planeta então será:

4 = 0.625 g - 0.125 g → g = 8   m / s 2

Logo v 0 y será:

v 0 y = 1.25 × 8 = 10   m / s

Logo a componente da velocidade em vetores unitários será:

v = 10 i ^ + 10 j ^

Passo 3

c) O peso não toca o solo em 2.5   s como é o tempo que encontramos no passo 1, esse é o tempo que o peso chega no mesmo nível do seu ponto de lançamento. Encontrando então o tempo total t t de deslocamento temos:

Δ y = y f i n a l - y i n i c i a l

Δ y = 0 - 2 = v 0 y t - g t 2 2

- 2 = 10 t t - 8 t t 2 2

4 t t 2 - 10 t t - 2 = 0

Por Bháskara encontramos as seguintes raízes:

t 1 ; t 2 = - 0.186 ; 2.686 )

Como não podemos admitir tempos negativos então o tempo de queda desse peso é de:

t ≈ 2.7   s

Passo 4

d) Na terra a gravidade é de 9.81   m / s 2 o que nos dá um tempo total igual a:

- 2 = 10 t - 9.81 2 t 2

Uma vez que as velocidades iniciais não são alteradas.

4.905 t 2 - 10 t - 2 = 0

Por Bhaskara temos as raízes iguais a:

t 1 ; t 2 = ( - 0.183 ; 2.222 )

Utilizando a raiz positiva temos que na terra o projétil tocaria o chão em:

t = 2.2   s  

Resposta

a )   v = 10 i ^ + 10 j ^

b )   g = 8   m / s 2

c )   t = 2.7   s

d ) t = 2.2   s  

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