Enunciado

Um parquinho está no telhado plano de uma escola, 6,00 m acima da rua (Fig. P3.21). A parede vertical do edifício tem altura de h = 7,00 m, formando uma grade de 1 m de altura ao redor do parquinho. Uma bola caiu na rua abaixo, e um transeunte a devolve jogando a um ângulo de θ = 53,0° acima da horizontal em um ponto d = 24,0 m da base da parede do edifício. A bola leva 2,20 s para alcançar um ponto verticalmente acima da parede. (a) Encontre a velocidade com que a bola foi lançada. (b) Encontre a distância vertical na qual a bola passa acima da parede. (c) Ache a distância horizontal da parede ao ponto no telhado onde a bola cai.

Passo 1

(a)Então, galera, como a bola levou 2,20 segundos até chegar exatamente no ponto acima da grade do parquinho (a 7   m do chão), foi esse o tempo que ela levou pra percorrer horizontalmente também a distância d = 24   m . Pela própria figura a gente consegue enxergar melhor isso, beleza?!

Se a gente tem a distância horizontal percorrida d e também o tempo t do movimento, a gente pode determinar facinho a velocidade horizontal, uma vez que em lançamentos oblíquos ela é constante!

Simplesmente a velocidade horizontal v x vai valer:

v x = d t = 24   m 2,20   s

∴ v x ≅ 10,91   m / s

Só que, lembrando de exercícios anteriores, as velocidades horizontal e vertical, na realidade, são decomposições da velocidade original, representada pelo vetorzinho (setinha) na figura saindo do pé do transeunte.

Essas velocidades se correlacionam assim:

Beleza? E a gente acabou de calcular v x , a velocidade horizontal, que pelo esqueminha de vetores aí em cima fica representada pela velocidade inicial vezes o cosseno do ângulo com a horizontal.

Nisso, podemos escrever:

v x = v l a n ç a m e n t o ∙ cos ⁡ θ

E aqui a gente conhece v x , e cos ⁡ θ = cos ⁡ 53 ° ≅ 0,602 . Então a gente determina facilmente a velocidade de lançamento! A gente vai ter:

v l a n ç a m e n t o = 10,91 0,602

∴ v l a n ç a m e n t o ≅ 18,13   m / s

Passo 2

(b) Vamos denominar a altura que a bola passa exatamente acima da parede da escola por H , tudo bem?

A gente sabe o tempo que a bola levou até chegar nesse ponto, dado no enunciado, de 2,20 segundos. Dá pra gente correlacionar H com esse tempo pela equação do sorvetão:

∆ S = v 0 ∙ t + a ∙ t 2 2

Nesse caso, ∆ S , o deslocamento vertical da bola é justamente a altura H que a gente quer determinar; v 0 vai ser a velocidade vertical de lançamento da bola, dada por v y = v l a n ç a m e n t o ∙ sen ⁡ θ (segundo com o esqueminha do Passo 1), e a = g = 10   m / s 2 , a gravidade.

Agora é só aplicar:

H = v l a n ç a m e n t o ∙ sen ⁡ 53 ° ∙ t + ( - g ) ∙ t 2 2

H = 18,13 ∙ 0,799 ∙ 2,20 - 10 ∙ 2,20 2 2

∴ H = 31,85 - 24,20 = 7,65   m  

Passo 3

(c) O que a gente precisa agora é essa distância daqui, povo, representada pelo tracejado laranja:

Belê?

Vamos denominar de distância D .

Pelo que foi discutido no Passo 1, você vai concordar comigo que D pode ser dada pela seguinte expressão:

D = v x ∙ T

Onde v x é a velocidade horizontal da bola, que já conhecemos, e T é o tempo decorrido pela bola, desde o lançamento, até o piso do parquinho da escola, tudo bem?

Se a gente determinar T , a gente determina D e matamos o problema!

E determinar D aqui vai ser fácil! Vamos usar sorvetão de novo, nos baseando entre a diferença de altura entre o piso do parquinho e o chão.

Lembra que, aqui, a gente considera o movimento vertical da bola, ok? Vamos aplicar:

6,00 = v l a n ç a m e n t o ∙ sen ⁡ 53 ° ∙ T + ( - g ) ∙ T 2 2

6,00 = 18,13 ∙ 0,799 ∙ T - 10 ∙ T 2 2

6,00 = 14,4 9 ∙ T - 5 ∙ T 2

Isso vai dar pra gente uma equaçãozinha de segundo grau. Vamos, no próximo passo, deixar ela com uma cara mais amigável e resolver por bhaskara!

Passo 4

A gente vai ter essa equação:

5 ∙ T 2 - 14,4 9 ∙ T + 6,00 = 0

Nisso, temos:

T = 14,49 ± 14,49 2 - 4 ∙ 5 ∙ 6,00 2 ∙ 5

T = 14,49 ± 89,96 10

T = 14,49 ± 9,48 10

Ok, aqui a gente poderia ter duas respostas, sendo elas:

T 1 = 14,49 + 9,48 10 ≅ 2,40   s

T 2 = 14,49 - 9,48 10 ≅ 0,50   s

Só que apenas T 1 faz sentido, uma vez que pra bola chegar até antes do parquinho já tinha levado 2,20 segundos, lembra?

Portanto, chegamos a nossa resposta, de T = 2,40   s

Resposta

(a) v l a n ç a m e n t o ≅ 18,13   m / s

(b) H = 7,65   m

(c) T = 2,40   s

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