Enunciado

136- Uma mola de constante elástica k = 620   N / m é mantida na posição vertical, com a extremidade inferior sustentada por uma superfície horizontal. A extremidade superior é comprimida 25 cm, e um bloco com peso de 50 N é colocado sobre a mola, e o sistema é liberado.

Supondo que a energia potencial gravitacional U g do bloco é zero no ponto (y = 0) em que o sistema é liberado, determine a energia cinética K do bloco para y igual a (a) 0, (b) 0,050 m, (c) 0,10 m, (d) 0,15 m, (e) 0,20 m. (f) Calcule também o valor de y para a altura máxima atingida pelo bloco.

Passo 1

Quando o sistema massa-mola é liberado o mesmo tende a oscilar seguindo a trajetória representada no desenho abaixo.

Pela conservação temos, a energia no bloco no instante que ela é liberada e em um Δ t depois:

E m = K + U g + E e l

No começo da a mola está em y = 0 e como dito na questão isso significa que a energia potencial gravitacional U g também vale 0 , como o bloco não se movimenta então a energia cinética K vale 0 também, tendo somente a energia elástica E e l como componente de energia. Então a energia mecânica total vale:

E m = 1 2 × 620 × 0.25 2 = 19.375   J

Logo escrevendo a equação da energia mecânica para um tempo Δ t depois da posição inicial nós teremos:

1 2 m v 2 + m g y f + 1 2 k y f - y i 2 = 19.375

Outra coisa importante é como vamos supor y positivo a medida que ele ‘cai’, logo y só terá valores positivos.

Passo 2

Isolando a energia cinética K temos:

K = 19.375 - m g y f - k 2 y f - 0.25 2

Substituindo os valores temos:

K = 19.375 - 50 y f - 310 y f - 0.25 2

  1. Para y f = 0   m :
  2. K = 19.375 - 310 × 0.25 2 = 0   J

  3. Para y f = 0.05   m :
  4. K = 19.375 - 50 × 0.05 - 310 0.05 - 0.25 2 = 4.475   J

  5. Para y f = 0.1   m :
  6. K = 19.375 - 50 × 0.1 - 310 0.1 - 0.25 2 = 7.4   J

  7. Para y f = 0.15 :
  8. K = 19.375 - 50 × 0.15 - 310 0.15 - 0.25 2 = 8.775   J

  9. Para y f = 0.2   m
  10. K = 19.375 - 50 × 0.2 - 310 0.2 - 0.25 2 = 8.6   J

    Passo 3

  11. Para encontrar o máximo valor de y temos que simplesmente entender o sistema. Nos extremos do sistema a energia cinética é nula sobrando apenas a energia potencial gravitacional e a energia potencial elástica em um y que desconhecemos completamente, assim ficando:

19.3 7 5 = m g y f + 1 2 K y f - y i 2

Substituindo os valores temos:

19.3 7 5 = 50 y f + 310 y f - 0.25 2

310 y f 2 - 155 y f + 50 y f + 19.375 = 19.3 7 5

Isso nos dá uma equação do segundo grau igual a:

310 y f 2 - 105 y f = 0

Com essa equação encontraremos:

y f = 0 , como era de se esperar.

y f = 0.338   m

Como é esperado encontramos uma das raízes na origem, a outra posição portanto será o ponto de y m a x

y m a x = 0.338   m

Resposta

a )   0   J

b )   4.475   J

c )   7.4   J

d )   8.775   J

e )   8.6   J

f )   0.338   m

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