Enunciado

14.40. Uma bola de 100 g, presa a uma mola com constante elástica de 2,5 N/m, oscila horizontalmente sobre uma mesa sem atrito. Sua velocidade é de 20 cm/s quando x=-5,0 cm.

a. Qual é a amplitude da oscilação?

b. Qual é a aceleração máxima da bola?

c. Qual é a posição da bola quando a aceleração é máxima?

d. Qual é a velocidade da bola quando x=3,0 cm?

Passo 1

A situação que a gente tem é a seguinte:

Adotando a direita como sentido positivo.

Bom, essa situação é um movimento harmônico simples.

Vamos começar pelo item (a), calcular a amplitude da oscilação. A gente pode usar a equação

A = x 0 2 + v 0 ω 2

Bom, a gente pode assumir que a posição inicial é - 5,0   c m e a velocidade inicial é 20 c m s como está na figura. Agora só falta descobrir a velocidade angular. A gente consegue descobrir essa velocidade usando a constante de mola e a massa, que são duas coisas que nos são dadas no enunciado

ω = k m

Vamos substituir os valores

ω = 2,5 0,1 = 5,0 r a d s

Agora a gente tem tudo para descobrir a amplitude

A = x 0 2 + v 0 ω 2

Vamos substituir os valores

A = - 5,0 2 + 20 5 2 = 6,4   c m

O resultado está em centímetros porque a gente calculou com a posição em c m e a velocidade em c m s .

Passo 2

Agora vamos para o item (b). A aceleração máxima da bola pode ser calculada assim

a m a x = ω 2 A

A gente chega nessa equação derivando a equação da velocidade do movimento harmônico simples e igualando à 0.

Vamos substituir os valores

A = 20 2 6,4 = 160 c m s 2

Passo 3

Agora o item (c), a posição da bola quando a aceleração é máxima.

A maior aceleração em módulo do movimento harmônico sempre ocorre nas amplitudes. Quando está na amplitude da direita, a bola sofre a maior aceleração para a esquerda, e quando está na amplitude da esquerda acontece o inverso, apesar da velocidade ser nula nesses momentos.

O exercício pede a maior aceleração, então vamos pegar o momento em que o módulo da aceleração é máximo, ou seja, em uma das amplitudes, e a aceleração seja positiva, ou seja, apontando para a direita. Bom, para a aceleração máxima estar apontando para a direita, a bola tem que estar na amplitude da esquerda, ou seja, a menor posição do movimento.

Então a m a x ocorre quando x = - A . A resposta é

x = - 6,4   c m

Passo 4

Só falta o item (d) agora. Para achar a velocidade da bola em uma posição qualquer a gente pode usar conservação de energia

U 1 + K 1 = U 2 + K 2

Esse K maiúsculo é de energia cinética, o k minúsculo é a constante da mola.

Bom, vamos pegar o instante 1 como um instante que a gente conhece as condições, o instante que o enunciado descreveu, o da figura que a gente fez. E o segundo instante é o da posição x = 3,0   c m .

A gente tem então

1 2 m v 0 2 + 1 2 k x 0 2 = 1 2 m v + 1 2 k x 2

A gente quer descobrir a velocidade no segundo instante, então vamos isola-la

1 2 m v = 1 2 m v 0 2 + 1 2 k x 0 2 - 1 2 k x 2

A gente pode cortar 1 2 , e passar a massa dividindo

v = v 0 2 + k m x 0 2 - k m   x 2

Antes de substituir os valores, a gente tem um problema para resolver. Repare que a constante da mola é dada em N m e a posição e a velocidade são dadas em c m . A gente tem que deixar tudo na mesma unidade antes de prosseguir, ou seja, colocar tudo que está em c m em m .

20 c m s = 0,2 m s

- 5   c m = - 0,05   m

3   c m = 0,03   m

Agora a gente pode substituir os valores

v = 0,2 2 + 2,5 0,1 - 0,05 2 - 2,5 0,1   0,03 2

v = 0,283 m s

Ou ainda

v = 28,3 c m s

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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