Enunciado

14.42. Um oscilador de 300 g tem velocidade de 95,4 cm/s quando seu deslocamento é de 3,0 cm e velocidade de 71,4 cm/s quando o deslocamento é de 6,0 cm. Quanto vale a velocidade máxima do oscilador?

Passo 1

Então temos um oscilador em um movimento harmônico simples. O enunciado nos dá os dados de dois instantes desse oscilador, vamos escreve-las nas unidades do SI:

x 1 = 3,0   c m → 0,03   m

v 1 = 95,4 c m s → 0,954 m s

E

x 2 = 6,0   c m → 0,06   m

v 2 = 71,4 c m s → 0,714 m s

E a massa do oscilador

m = 300   g → 0,3   k g

E com esses dados a gente tem que descobrir a velocidade máxima do oscilador. É bom lembrar que a velocidade máxima ocorre sempre na menor aceleração, na maior energia cinética e quando o oscilador está no seu ponto de equilíbrio.

Passo 2

Num movimento harmônico simples a energia é conservada, então a gente pode escrever a equação de conservação de energia para essa situação

E 1 = E 2

Aqui a gente pode assumir que a energia total é a energia cinética somada com a energia potencial elástica, essas duas energias descrevem perfeitamente um movimento harmônico simples, o caso de uma mola oscilando com uma partícula na ponta, é um movimento harmônico simples.

1 2 m v 1 2 + 1 2 k x 1 2 = 1 2 m v 2 2 + 1 2 k x 2 2

A gente tem dois momentos diferentes desse movimento, então a gente pode achar a constate de mola. Vamos cortar 1 2 da equação

m v 1 2 + k x 1 2 = m v 2 2 + k x 2 2

Agora vamos começar a isolar k

k x 1 2 - k x 2 2 = m v 2 2 - m v 1 2

Agora vamos colocar k e m em evidência, e

k x 1 2 - x 2 2 = m v 2 2 - v 1 2

k = m v 2 2 - v 1 2 x 1 2 - x 2 2

Agora é só substituir os valores

k = 0,3 0,714 2 - 0,954 2 0,03 2 - 0,06 2 = 44,48 N m

Passo 3

A constante da mola vai nos ajudar muito porque agora a gente pode calcular a energia total do sistema. Vamos usar o primeiro instante para calcular

E t = 1 2 m v 1 2 + 1 2 k x 1 2

Agora é só a gente substituir os valores

E t = 1 2 0,3 0,954 2 + 1 2 44,48 0,06 2 = 0,1565   J

Agora a gente consegue determinar a velocidade máxima, porque a gente consegue determinar a maior energia cinética. A maior energia cinética ocorre quando a energia elástica é nula.

E t = 1 2 m v m a x 2

Agora a gente isola a velocidade máxima

v m a x = 2 E t m

Agora é só substituir os valores

v m a x = 2 0,1565 0,3 = 1,02 m s

Resposta

1,02 m s

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