Enunciado

14.5E Considere um satélite de massa m em órbita em torno da Terra. A) Escreva sua lagrangeana.

Passo 1

Belezoca galerinha, a lagrangeana do sistema é dada por:

L = K - V

Onde K é a energia cinética do sistema, enquanto V é a energia potencial. Mas como estamos falando de um satélite em órbita, quer dizer que realiza deslocamento angular em relação ao centro da Terra, nesse caso a velocidade é dada por dois fatores:

v 1 = r '

Onde r é o raio da terra, e essa velocidade é representada no deslocamento radial, a outra componente é:

v 2 = r θ '

Onde v 2 representa a velocidade no deslocamento angular. Dessa maneira, a energia cinética vai ser a soma da energia cinética das duas:

K = 1 2 m v 1 2 + 1 2 m v 2 2

K = 1 2 m r ' 2 + 1 2 m r θ ' 2

Passo 2

Já a energia potencial, como estamos de um corpo em órbita, é dada por:

V = - G M m r

Onde m é a massa do satélite e M é a massa da Terra. Dessa maneira, a lagrangeana será:

L = K - V

L = 1 2 m r ' 2 + 1 2 m r θ ' 2 + G M m r

Resposta

L = 1 2 m r ' 2 + 1 2 m r θ ' 2 + G M m r

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