Enunciado

15.7E Duas esferas metálicas de mesmo raio a estão separadas uma da outra por distância r muito maior do que a . Uma esfera tem carga q 1 e a outra carga - q 2 , e elas se atraem com força de intensidade F . Um fio condutor faz contato simultâneo com as duas esferas para que elas possam trocar cargas entre si, e depois disso o fio é retirado. (A) Mostre que as duas cargas passarão a se repetir (exceto se q 1 = q 2 ) e calcule a intensidade da força F ' de repulsão entre elas. (B) Determine os valores possíveis para a razão q 1 / q 2 para que se tenha F = F ' .

Passo 1

Belezoca galerilds, a malandragem aqui é a gente ficar ligado na redistribuição das cargas saca só, o enunciado diz pra gente que inicialmente as cargas q 1 e - q 2 estão separadas por uma distância r com força elétrica equivalente a F :

F = k q 1 - q 2 r 2

F = k q 1 q 2 r 2

Logo em seguida ele coloca um fio condutor de carga unindo essas duas partículas, tal que agora a carga total do sistema é:

q T = q 1 + - q 2

q T = q 1 - q 2

E quando ele retira esse fio condutor, essa carga total q T vai ser redistribuída igualmente para as duas esferas, de forma que agora as cargas de cada esfera são:

q ' = q 1 - q 2 2 ,     q ' ' = q 1 - q 2 2

Passo 2

Show de bolinhas, isso quer dizer que logo após ele retirar o fio condutor, teremos que a força elétrica de repulsão exercida pelas cargas será:

F ' = k q 1 - q 2 2 q 1 - q 2 2 r 2

F ' = k q 1 - q 2 2 2 r 2

F ' = k q 1 - q 2 2 4 r 2

Ou seja, se q 1 = q 2 teremos que F ' = 0 .

Passo 3

Na letra (B) se F = F ' teremos:

F = F '

k q 1 q 2 r 2 = k q 1 - q 2 2 4 r 2

Podemos primeiro cortar os termos que se repetem:

q 1 q 2 = q 1 - q 2 2 4

4 q 1 q 2 = q 1 - q 2 2

Agora se a gente abrir o termo ao quadrado teremos:

4 q 1 q 2 = q 1 2 - 2 q 1 q 2 + q 2 2

q 1 2 + q 2 2 = 6 q 1 q 2

E agora dividindo tudo por q 1 q 2 , temos que:

q 1 2 + q 2 2 q 1 q 2 = 6

q 1 2 q 1 q 2 + q 2 2 q 1 q 2 = 6

q 1 q 2 + q 2 q 1 = 6

E a sagacidade aqui, é que a gente quer encontrar a razão q 1 / q 2 só que ali na relação que a gente encontrou, nós temos as duas relações q 1 / q 2 e q 2 / q 1 então fazemos:

u = q 1 q 2 ,     u - 1 = q 2 q 1

Tal que:

q 1 q 2 + q 2 q 1 = 6

u + u - 1 = 6

u + 1 u = 6

Multiplicando tudo por u :

u 2 + 1 = 6 u

u 2 - 6 u + 1 = 0

Resolvendo essa equação do segundo grau obtemos:

u = - - 6 ± - 6 2 - 4 2

u = 6 ± 32 2

u = 6 ± 2 8 2

u = 3 ± 8

Portanto nossa razão é dada por:

q 1 q 2 = 3 ± 8

Resposta

  1. F ' = k q 1 - q 2 2 4 r 2
  2. q 1 q 2 = 3 ± 8
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