Enunciado

O retorno. Um explorador de uma densa floresta na África equatorial deixa sua cabana. Ele dá 40 passos no sentido nordeste, depois 80 passos em uma direção que forma um ângulo de 60° considerando a rotação no sentido do oeste para o norte, a seguir 50 passos diretamente para o sul. Considerando-se que os seus passos têm o mesmo comprimento a) Faça um diagrama aproximadamente em escala dos três vetores e da resultante da soma vetorial. b) Ajude-o a evitar se perder na floresta fornecendo-lhe o vetor deslocamento, calculado pelo método dos componentes, necessário para que ele retorne para sua cabana.

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... o enunciado nos diz que um explorador deixa sua cabana e faz o seguinte caminho:

  1. Ele dá 40 passos no sentido nordeste;
  2. Depois ele dá 80 passos em uma direção que forma um ângulo de 60 ° considerando a rotação no sentido do oeste para o norte;
  3. A seguir ele dá 50 passos diretamente para o sul.

Queremos transformar essas informações em vetores e, com isso, encontrar o vetor resultante.

Bom... com os dados do enunciado você vai imaginar os caminhos que o explorador faz e pra fazer a soma vetorial é só ligar uma linha reta entre o início do trajeto e o final dele.

Passo 2

Seja o vetor A → os 40 passos no sentido nordeste, o vetor B → os 80 passos com a rotação de 60 ° em relação ao norte e o vetor C → os 50 passos em direção ao sul.

E seja o vetor D → a resultante dos três vetores.

O diagrama vai ficar mais ou menos assim:

Agora partiu letra b)!

Passo 3

A letra b) quer saber o vetor deslocamento pra que o explorador volte pra casa, e sem se perder. HEHE.

Como ele vai voltar pra casa, o trajeto dele vai fechar e isso significa que a soma vetorial de todos os trajetos vai ser 0 .

Agora tudo ficou mais fácil! Pra achar o módulo é só decompor as trajetórias em x e em y fazendo a soma dar 0 . Assim a gente vai encontrar as componentes do vetor deslocamento. Depois é só usar o nosso querido Pitágoras 😉.

A direção pode ser dada através do ângulo com o eixo x e vamos acha-lo através da tangente. Então bora lá!

Passo 4

Vamos decompor os trajetos em x :

A x + B x + C x + D x = 0

D x = - A x + B x + C x

D x = - ( 40 c o s 45 ° - 80 c o s 60 ° + 0 )

D x =   11,72   p a s s o s

Agora em y :

D y = - A y + B y + C y

D y =   - 40 s e n 45 ° + 80 s e n 60 ° - 50

D y =   - 47,6   p a s s o s

Passo 5

Agora que temos as componentes, vamos usar o maravilhoso Teorema de Pitágoras pra achar o módulo do deslocamento:

D =   D x 2 + D y 2

D = 11,72 ? + - 47,6 2

D = 49   p a s s o s

Então sabemos que para o explorador voltar pra casa ele vai ter que dar 49 passos. Mas em qual direção?

Vamos ver:

Passo 6

Pra achar o ângulo que o vetor deslocamento faz com o eixo x, vamos primeiro usar a tangente desse ângulo:

t g α = - 47,6 11,72 =   - 4,06

Agora usamos o arco-tangente pra encontrar o ângulo:

a r c t g - 4,06 = - 76 ��

Então ele vai ter que andar 49 passos a 76° graus considerando a rotação do leste pro sul.

“Its finished!” \O/

Resposta

  1. Módulo: 49 passos; Direção: 76° no sentido da rotação do leste pro sul.
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