Enunciado

19. As usinas hidrelétricas convertem a energia potencial gravitacional em formas mais úteis, fluindo água em declive através de um sistema de turbinas para gerar energia elétrica. A represa Hoover, no rio Colorado(EUA), tem 211 m de altura e gera 4 × 10 9 K W ∙ h / a n o . A que taxa (em L / s ) a água deve fluir através das turbinas para gerar essa energia? A densidade da água é de 1,00   K g / L . Suponha uma eficiência total de 90 %   na conversão da energia potencial da água em energia elétrica.

Passo 1

Podemos relacionar a energia disponível da água em termos de sua massa, a distância vertical em que caiu e a eficiência do processo. A diferenciação dessa expressão em relação ao tempo produzirá a taxa na qual a água deve passar por suas turbinas para gerar a energia anual da represa Hoover

Assumindo uma eficiência total ε , usa-se a expressão para a energia potencial gravitacional perto da superfície da Terra, a qual recebe a letra E , a fim de expressar a energia disponível em a água quando caiu uma distância h . Logo:

  E = ε m g h

Passo 2

Em seguida deriva-se a expressão obtida acima em relação ao tempo, o que nada mais é que a fórmula da potência P :

P = d [ ε m g h ] d t = ε g h d m d t

Passo 3

Sabe-se porém que d m = ρ d V , onde ρ   é a densidade da água. Desse modo, escreve-se uma nova expressão para P

P = ε ρ g h d V d t

Como o objetivo é encontrar a que taxa a água deve fluir, isola-se d V / d t . Sabe-se além disso, que P na verdade é a o quociente da variação de energia ( ∆ E ) pelo intervalo de tempo ( ∆ t ) .

d V d t = P ε ρ g h

d V d t = ∆ E ε ρ g h ∆ t

d V d t = 4,5 × 10 9   K W ∙ h ( 0,90 ) ( 1,00   K g / l ) ( 9,81   m / s ² ) ( 211 m ) ( 365 d i a s × 24   h o r a s / d i a )

d V d t = 2,4 × 10 5   L / s

Resposta

A taxa a que a água deve fluir é igual a 2,4 × 10 5   L / s .

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