Enunciado

36 . Um bloco de massa m em cima de uma mesa horizontal sem atrito é empurrado contra uma mola horizontal, comprimindo-a de uma distância x , e então o bloco é liberado. A mola impulsiona o bloco sobre a mesa, imprimindo-lhe uma rapidez v . A mesma mola é então usada para impulsionar um segundo bloco de massa de 4 m , imprimindo-lhe uma rapidez 3 v . De que distância a mola foi comprimida no segundo caso? Dê sua resposta em termos de x .

Passo 1

A primeira coisa a ser feita, é entender como está ocorrendo a distribuição de energias no nosso sistema. Por isso, vamos lá! Temos no nosso sistema que, inicialmente, a compressão da mola irá realizar um trabalho, que por sua vez será armazenado na forma energia potencial. Só que essa essa energia potencial, quando o bloco é liberado, terá que ser convertida em outra forma de energia. Como o bloco irá se desprender da mola movimentando-se sobre a mesa, consequentemente temos que a energia potencial armazenada lá no início, vai ser transformada na energia cinética do bloco. Por fim, o que resta é igualar essas energias de modo que possa extrair-se a relação desejada entre as compressões da mola e as velocidades dos blocos e encontrar a resposta final.

Passo 2

Antes de iniciar os cálculos, atentemos a algumas definições de forma a facilitar o entendimento, uma vez que o problema expõe duas situações, onde dois blocos de massas m e 4 m , são comprimidos pela mola. Por isso, deixamos o numeral 1 se referir ao primeiro caso, e o numeral 2 ao segundo caso. No final substituimos tudo por x , como pede a questão.Vamos aos cálculos!

Primeiro caso:

Iguala-se a energia potencial armazenada na compressão da mola à energia cinética do bloco quando se desprende:

1 2 k x 1 2 = 1 2 m 1 v 1 2   ( 1 )

k x 1 2 = m 1 v 1 2     ( 1 )

Segundo caso:

Novamente, iguala-se a energia potencial armazenada na compressão da mola à energia cinética do bloco quando se desprende:

1 2 k x 2 2 = 1 2 m 2 v 2 2   ( 2 )

Só que, de acordo com o enunciado m 2 = 4 m 1 e v 2 = 3 v 1 . Logo, susbstituem-se os valores correspondentes na equação do segundo caso, de modo que ela passa a ter a seguinte cara:

1 2 k x 2 2 = 1 2 4 m 1 ( 3 v 1 ) 2   ( 2 )

1 2 k x 2 2 = 18 m 1 v 1 2   ( 2 )

Passo 3

Das equações obtidas tanto para o primeiro caso, vemos que o termo m 1 v 1 2   é comum as duas situações. Resta então, tentar tirar dessa coincidência um possível modo de obter a resposta desejada. Vamos à tentativa:

Da equação em ( 1 ) , temos que k x 1 2 = m 1 v 1 2 .

E da equação em 2 , obtemos que:

1 2 k x 2 2 = 18 m 1 v 1 2  

Opa! Mas no primeiro caso conseguimos encontrar que k x 1 2 = m 1 v 1 2 . Agora sim encontramos a nossa relação! Basta agora substituí-la na equação do segundo caso:

1 2 k x 2 2 = 18 m 1 v 1 2  

1 2 k x 2 2 = 18   k x 1 2

1 2 x 2 2 = 18   x 1 2

x 2 2 = 36 x 1 2

x 2 = 36 x 1 2

x 2 = 6 x 1

Pronto! Relação entre x 2 e x 1 encontrada. Logo a deformação da mola é 6   vezes maior no segundo caso. Lembrando que x 1 na verdade é a deformação x lá do começo da questão!

Resposta

A mola foi comprimida a uma distância 6 x no segundo caso.

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