Enunciado

21. Uma caixa de 2,0   K g   desliza para baixo sobre um longo plano inclinado de 30 ° , sem atrito. Ela começa partindo do repouso no tempo t = 0   no topo do plano , a uma altura de 20 m   acima do solo.

a) Qual é a energia potencial da caixa em relação ao solo em   t = 0 ?

b) Use as leis de Newton para encontrar a distância que a caixa percorre no intervalo 0,0   s < t < 1,0   s   e sua velocidade em   t = 1 , 0 s .

c) Encontre a energia potencial e a energia cinética da caixa em t = 1,0 s.

d) Encontre a energia cinética e a velocidade da caixa assim que atinge o solo na base do plano inclinado.

Passo 1

a) Primeiramente é necessário traçar um esboço da situação exposta no problema, demonstrando as forças que agem na caixa durante sua queda, bem como apresentando um sistema de referencial para o seguinte modelo físico, conforme demonstrado abaixo:

Baseado nessa imagem, podemos observar basicamente que duas forças agem na caixa durante sua queda: a força de contato entre a caixa e o plano inclinado e a força peso da caixa, a qual é responsável por impulsionar sua descida.

No instante inicial   t = 0 , vemos que a caixa tem velocidade nula e que ela encontra-se na altura máxima do plano inclinado. Logo o único tipo de energia presente nesse instante é a energia potencial gravitacional ( U i ) , a qual pode ser expressa em relação ao chão, no topo da inclinação por:

U i = m g h

Substitui-se os então, os valores presentes no problema:

U i = ( 2,0   k g ) ( 9,81 m / s ² ) ( 20 m )

U i = 392   J = 0,39   K J

Passo 2

b) Para resolver esta etapa do problemas, é preciso atentar-se a diagrama de forças presenta na figura acima. Nele vemos que a componente da força peso da caixa no eixo x contribui para provocar a aceleração nesse sentido. Desse modo, é conveniente começar a resolver o problema usando a equação do movimento uniforme acelerado como passo inicial.

x = x i + v 0 t + 1 2 a t ²

Porém, a posição inicial ( x i ) é igual a 0 e a velocidade inicial ( v 0 ) é igual a zero, uma vez que a caixa parte do repouso . Desse modo:

∆ x = 1 2 a t 2       ( 1 )

Em seguida, aplicando o ∑ F x = m a x quando ela está descendo, encontra-se a aceleração desejada em   ( 1 )

∑ F x = m a x

F g s e n θ = m a

Mas, F g   nada mais é do que a força gravitacional, igual a m g . Assim:

m g s e n θ = m a

a = g s e n θ

Finalmente, basta agora substituir a aceleração encontrada em na equação da posição em ( 1 ) , para encontrar o quanto a caixa se deslocou de 0,0   s até   1 , 0   s .

∆ x = 1 2 a t 2      

∆ x = 1 2 ( g s e n θ ) t 2

∆ x = 1 2 ( 9,81 m / s ² ) ( s e n 30 ° ) ( 1,0 s ) 2

∆ x = 2,45 m ≈ 2,5 m

Por último, para encontrar a velocidade em t = 1,0 s, basta utilizar a equação do movimento uniformemente acelerado para a velocidade v = v 0 + a t . Uma vez que v 0 é nula, temos que:

v = a t

v = ( g s e n θ ) t

v = ( 9,81 m / s ² ) ( s e n 30 ° ) ( 1 s )

v = 4,9   m / s

Passo 3

c) A energia cinética K 1,0 da caixa   no instante t = 1,0   s , uma vez já obtida sua velocidade nesse instante de tempo é dada por:

K 1,0 = 1 2 m v ²

K 1,0 = 1 2 ( m ) ( g s e n θ t ) ²

K 1,0 = 1 2 2 K g 9,81 m / s ² 2 s e n 2 30 ° 1,0 s 2

K 1,0 = 24 J

Para encontrar a energia potencial gravitacional no instante t = 1,0   s , considera-se o princípio da conservação de energia, o qual diz que a energia presente no começo do sistema é igual a energia presente no final. Logo, se no sistema há dois tipos de energia, respectivamente cinética e potencial gravitacional, basta subtrair a energia obtida no instante t = 0 , 0   s da energia cinética em t = 1,0   s a fim de encontrar a e energia potencial gravitacional no tempo desejado:

U 1,0 = U i - K 1,0

U 1,0 = 392 J - 24 J

U 1,0 = 368 J = 0,37 K J

Passo 4

d) Parando bem pra analisar, assim que a caixa atinge o solo na base do plano inclinado, ela encontra-se na altura h = 0 . Isso quer dizer que a caixa não tem energia potencial gravitacional em relação ao solo. Fica simples portanto, afirmar que no solo, pelo princípio da conservação da energia mecânica, a energia cinética final   ( K f ) é igual a energia potencial no instante inicial t = 0 , 0   s . Logo K f = 392 J ≈ 0,39 K J . Para encontrar a velocidade nesse instante de tempo, basta igualar a já conhecida fórmula da energia cinética para chegar a resposta.

K f = 1 2 m v f ²

v f = 2 K f m  

v f = 2 ( 392 J ) 2 K g

v f = 392     m / s ≈ 20 m / s

Resposta

a ) U i = 392   J

b ) ∆ x = 2,45 m   e   v = 4,9 m / s

c )   K 1,0 = 24 J   e   U 1,0 = 368 J

d ) K f = 392 J   e   v f ≈ 20 m / s

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