Enunciado

21. Uma partícula de massa m 1 , viajando a uma velocidade v sofre uma colisão elástica frontal uma partícula em repouso de massa m 2 . Em qual situação a maior quantidade de energia será transmitida à partícula de massa m 2 ?

a)   m 2 < m 1

(b) m 2 = m 1

(c) m 2 > m 1

(d) Nenhuma das anteriores

Passo 1

Vamos se referir as partículas como partícula 1 e partícula 2. Consideremos a direção na qual partícula 1 está se movendo antes da colisão, como a direção x positiva. Usaremos a conservação do momento e a conservação da energia mecânica para obter uma expressão para a velocidade da partícula 2 após a colisão.

Finalmente, o que temosque fazer é examinar a razão entre a energia cinética final da partícula 2 e a da partícula 1, para determinar a condição sob a qual há energia máxima transferida da partícula 1 para a partícula 2.

Passo 2

Vamos começar, aplicando conservação do momento linear p   para nosso sisteminha!

p a n t e s = p d e p o i s

m 1 v = m 2 v f , 2 + m 1 v f , 1

Em seguida, usamos conservação da energia mecânica, para relacionar as velocidades relativas antes e depois, de aproximação e recessão:

v f , 2 - v f , 1 + v i , 2 - v i , 1 = 0

Só que v i , 1 , é a velocidade v e v i , 2 é zero, uma vez que m 2 estava em repouso. Temos então, que:

v f , 2 - v f , 1 = v i , 1

v f , 2 - v f , 1 = v

Agora, vamos substituir o valor de v f , 1 = v f , 2 - v lá na equação de cima, da conservação do momento:

m 1 v = m 2 v f , 2 + m 1 ( v f , 2 - v )

2 m 1 v = m 2 v f , 2 + m 1 v f , 2

v f , 2 = 2 m 1 v m 1 + m 2

Passo 3

Agora, vamos obter a razão entre a energia cinética final da partícula 2, dada por K f , 2 e a energia cinética inicial da partícula 1, dada por K i , 1 , para determinar a máxima condição de energia transferida:

K f , 2 K i , 1 = 1 2 m 2 v f , 2 2 1 2 m 1 v 2

K f , 2 K i , 1 = 1 2 m 2 2 m 1 v m 1 + m 2 2 1 2 m 1 v 2

K f , 2 K i , 1 = m 2 m 1 4 m 1 2 ( m 1 + m 2 ) 2  

Chamamos K f , 2 K i , 1 de R . Tudo que temos que agora é derivar R em relação a qualquer uma das massas e igualar a zero, para encontrar um ponto de máximo. Pode ser em relação a m 2 :

d R d m 2 = d d m 2 m 2 4 m 1 ( m 1 + m 2 ) 2 = 0

4 m 1 d d m 2 m 2 ( m 1 + m 2 ) 2 = 0

4 m 1 ( m 1 + m 2 ) 2 - 2 m 2 ( m 1 + m 2 ) ( m 1 + m 2 ) 4 = 0

4 m 1   m 1 2 + 2 m 1 m 2 + m 2 2 - 2 m 2 m 1 - 2 m 2 2 ( m 1 + m 2 ) 4 = 0

4 m 1   m 1 2 - m 2 2 ( m 1 + m 2 ) 4 = 0

m 1 2 - m 2 2 = 0

m 1 2 = m 2 2

m 1 = m 2

Encontramos nosso ponto de máximo . Logo, maior quantidade energia será transmitida à partícula de massa m 2 , quando m 1 = m 2   .

Resposta

Letra (b) m 2 = m 1

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