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Física - Física para Cientistas e Engenheiros - Mecânica, Oscilações e Ondas, Termodinâmica: Volume 1 - 6ª Edição - Mosca, Tripler - Capítulo 7.1 - Ex. 29

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29. A energia potencial de um corpo restrito ao eixo x é dada por U x = 8 x 2 - x 4 , onde U está em joules e x está em metros.

a) Determinea força F x   associada a esta função de energia potencial.

b) Supondo que não haja outras forças atuando sobre o corpo, em que posições esse corpo está em equilíbrio?

c) Quais destas posições de equilíbrio são estáveis ​​e quais são instáveis?

Passo 1

a) Sabendo que a força F x é definida como o negativo da derivada da função de energia potencial em relação a x , ou seja, F x = - d U / d x , para determinar a força associada basta então realizar o cálculo, que nada mais é do que a derivada de um polinômio de quarto grau.

F x = - d U d x

F x = - d ( 8 x 2 - x 4 ) d x

F x = - d 8 x 2 d x + d ( x 4 ) d x

F x = - 16 x + 4 x 3

F x = 4 x ( x - 2 ) ( x + 2 ) N

Passo 2

b) O corpo está em equilíbrio, no caso, quando nenhuma força está agindo sobre ele. Ou seja as posições em que o corpo estará em equilíbrio, mais especificamente, serão aquelas em que F x   será igual a zero.

F x = 0

4 x x + 2 x - 2 = 0

4 x = 0

x = 0

x + 2 = 0

x = - 2

x - 2 = 0

x = 2

x = - 2 m ,   0   e   2 m

Passo 3

c) Por último, para decidir se o equilíbrio em um ponto particular é estável ou instável, é necessário avaliar a segunda derivada da função energia potencial no ponto de interesse, no caso os pontos em que F x   é igual a zero. Se o valor da segunda derivada resultar em um valor negativo, o equílibrio será instável, porém se o valor da segunda derivada for positivo, o equilíbrio será estável. Resta então, calcular d 2 U / d x 2 :

d U d x = d ( 8 x 2 - x 4 ) d x = 16 x - 4 x 3

Deriva-se novamente, a fim de achar d 2 U / d x 2 :

d 2 U d x 2 = d ( 16 x - 4 x 3 ) d x = 16 - 12 x ²

Agora, basta substituir os três pontos de interesse na expressão da segunda derivada e verificar se o valor encontrado é positivo ou negativo:

Para x = - 2 :

d 2 U d x 2 x = - 2 = [ 16 - 12 x 2 ] x = - 2 = - 32

Para x = 0 :

d 2 U d x 2 x = 0 = [ 16 - 12 x 2 ] x = 0 = 16

Para x = 2 :

d 2 U d x 2 x = 2 = [ 16 - 12 x 2 ] x = 2 = - 32

A seguinte tabela abaixo mostra o valor de x , da segunda derivada d 2 U / d x 2 e do tipo de equílibrio:

Resposta

a )   F x = 4 x ( x - 2 ) ( x + 2 ) N

b )   E s t a r á   e m   e q u i l í b r i o   n a s   p o s i ç õ e s   x = - 2 m ,   0   e   2 m

c ) E m   x = - 2   e   x = 2 ,   o   e q u i l í b r i o   é   i n s t á v e l .   J á   e m   x = 0 ,   o   e q u i l í b r i o   é   e s t á v e l

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