Lista de Exercícios Resolvidos de Equilíbrios

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Uma partícula de massa m pode se deslocar em uma dimensão, submetida a um potencial dado por U x = 27 x 3 - 9 x + 2 em unidades do SI: U em Joules ( J ), e x em metros ( m ).

a ) Determine a expressão da força atuando sobre a partícula em função da posição x .

b ) Calcule as posições de equilíbrio da partícula.

c ) Determine as condições de equilíbrio em cada ponto, ou seja, se é estável, instável ou indiferente.

d ) Se uma partícula de massa m = 12   k g for deixada na condição de equilíbrio estável com velocidade de 1   m / s , ela realiza um movimento periódico? Justifique.

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A energia potencial de ligação entre átomos de moléculas diatômicas pode ser descrita, dentro de certos limites, pelo gráfico ao lado, dado pela equação

U r = a r 12 - b r 6

onde r é a distância entre os núcleos dos átomos, a e b são constantes.

a) Qual a equação da força F ( r ) entre os átomos?

b) Determine a distância de equilíbrio r 0 .

c) Determine a energia potencial mínima U 0 .

Dê suas respostas somente em termos de a e b .

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Uma partícula desloca-se ao longo do eixo O X , de unitario i ^ , sob ação de uma força conservativa F → = F x i ^ , correspondente ao potencial U x , dado pelo gráfico da figura. Para este potencial, entre as alternativas abaixo, a única INCORRETA é

  1. Na posição x O a força sobre a particula é nula;
  2. Nas posições x b e x c tem-se a condição de equilíbrio estável;
  3. No deslocamento da particular de x c para x d o trabalho realizado W c → d pela força F → é negativo;
  4. No deslocamento da partícula de x b para x c a variação da energia cinética é Δ K > 0 ;
  5. Na posição x a o sentido da força F → é positivo.

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Uma partícula desloca-se ao longo do eixo x sob a ação de uma força conservativa F → , correspondente a um potencial U x , dado pela figura abaixo. Para este potencial entre as opções abaixo a única incorreta é:

  1. Na posição x B a força sobre a partícula é nula;
  2. Na posição x D , tem-se a condição de equilíbrio estável;
  3. No deslocamento do corpo de x A para x C o trabalho realizado pela força F → é positivo;
  4. O sentido da força F → na posição x E é negativo;
  5. Na posição x C a força F → é nula.

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A figura mostra a energia potencial U ( x ) de uma partícula que move-se ao longo do eixo x sob a ação da força resultante F → = F x î   associada a U ( x ) . A alternativa FALSA é

(a) Na posição x 4 , tem-se a condição de equilíbrio estável;

(b) No deslocamento da partícula da posição x 2 para a posição x 4 , o trabalho realizado sobre a partícula é positivo;

(c) O sentido da força na posição x 6 é positivo;

(d) Na posição x 3 , a força sobre a partícula é nula;

(e) No deslocamento da partícula da posição x 3 para a posição x 2 , a variação da energia cinética é positiva.

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Uma partícula desloca-se ao longo do eixo O X , de unitario i ^ , sob ação de uma força conservativa F → = F x i ^ , correspondente ao potencial U x , dado pelo gráfico da figura. Para este potencial, entre as alternativas abaixo, a única INCORRETA é

  1. Na posição x O a força sobre a particula é nula;
  2. Nas posições x b e x c tem-se a condição de equilíbrio estável;
  3. No deslocamento da particular de x c para x d o trabalho realizado W c → d pela força F → é negativo;
  4. No deslocamento da partícula de x b para x c a variação da energia cinética é Δ K > 0 ;
  5. Na posição x a o sentido da força F → é positivo.

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Uma partícula desloca-se ao longo do eixo x sob a ação de uma força conservativa F → , correspondente a um potencial U x , dado pela figura abaixo. Para este potencial entre as opções abaixo a única incorreta é:

  1. Na posição x B a força sobre a partícula é nula;
  2. Na posição x D , tem-se a condição de equilíbrio instável;
  3. No deslocamento do corpo de x A para x B o trabalho realizado pela força F → é negativo;
  4. O sentido da força F → na posição x E é positivo;
  5. Na posição x C a força F → não é nula.

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Uma partícula desloca-se ao longo do eixo x sob a ação de uma força conservativa F → , correspondente a um potencial U x , dado pela figura abaixo. Para este potencial entre as opções abaixo a única incorreta é:

  1. Na posição x B a força sobre a partícula é nula;
  2. Na posição x D , tem-se a condição de equilíbrio estável;
  3. No deslocamento do corpo de x A para x C o trabalho realizado pela força F → é positivo;
  4. O sentido da força F → na posição x E é negativo;
  5. Na posição x C a força F → é nula.

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Uma partícula desloca-se ao longo do eixo x sob a ação de uma força conservativa F → , correspondente a uma energia potencial U x , dada pelo gráfico da figura, na qual o ponto B é um ponto de máximo e C é um ponto de mínimo. Para esse potencial, entre as opções abaixo a única incorreta é

(a) na posição x B a força sobre a partícula é nula;

(b) na posição x C , tem-se a condição de equilíbrio estável;

(c) o sentido da força F → na posição x A é positivo;

(d) no deslocamento do corpo de x B para x C o trabalho realizado pela força F → é positivo;

(e) na posição x C a força F → é nula.

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Uma partícula de massa m = 2,0   k g move-se em uma dimensão ao longo do eixo x e de acordo com a energia potencial, em J , dada por:

U x = - 3 x + x 3

a) Esboce o gráfico de U x × x , para - 3   m ≤ x ≤ 3   m

b) Encontre a força associada a esta energia potencial

c) Ache a(s) posição(ões) de equilíbrio, e identifique-o(s) como instável, estável ou indiferente. Justifique sua resposta.

d) Qual é o valor de U no ponto de equilíbrio instável?

e) Supondo que a partícula esteja inicialmente em repouso no ponto de equilíbrio estável de U x , qual é a mínima velocidade que se deve dar a ela para que seu movimento deixe de ser confinado?

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Um próton de massa m se move em uma dimensão na presença de uma força cuja energia potencial é dada por:

U x = a x 2 - b x

Sendo a e b constantes positivas. O próton é liberado do repouso no ponto x 0 = a / b

a) Calcule U x 0 .

b) Escreva qual(is) é(são) o(s) ponto(s) de equilíbrio, e classifique-o(s) como estável, instável ou indiferente, fundamentando a classificação.

c) Calcule a velocidade do próton em função da posição x .

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Um corpo de massa m = 1,9   k g se move em uma dimensão ao longo do eixo x . Sua energia potencial é dada por:

U x = 9 x 3 - 6 x

Onde x é dado em metros e U em joules. O gráfico representa a variação da energia potencial em função da distância. Caso seja necessário, use 2 = 1,4 .

a) Calcule a força exercida sobre o corpo em função de x .

b) Calcule a(s) posição(ões) de equilíbrio, marque-a(s) como ponto(s) de equilíbrio estável, instável ou indiferente. Justifique sua resposta.

c) Assumindo que o corpo esteja inicialmente no ponto de equilíbrio à direita da origem, a partir de qual valor para a velocidade o movimento deixa de ser oscilatório?

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Uma partícula de massa m pode se deslocar em uma dimensão, submetida a um potencial dado por U x = 27 x 3 - 9 x + 2 em unidades do SI: U em Joules ( J ), e x em metros ( m ).

a ) Determine a expressão da força atuando sobre a partícula em função da posição x .

b ) Calcule as posições de equilíbrio da partícula.

c ) Determine as condições de equilíbrio em cada ponto, ou seja, se é estável, instável ou indiferente.

d ) Se uma partícula de massa m = 12   k g for deixada na condição de equilíbrio estável com velocidade de 1   m / s , ela realiza um movimento periódico? Justifique.

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Considere um potencial, descrevendo uma força conservativa, dado pela função:

U x = k x 2 2 ,     s e   x < A  

K A 4 2 x ² ,                   s e   x ≥ A

  1. Faça o gráfico da função potencial U ( x ) e da força F ( x ) associada a este potencial, indicando os pontos de máximo e mínimos locais, os pontos que U ( x ) = 0 e F ( x ) = 0 , e os valores assintóticos para os limites de x → ∞ e x → - ∞   .
  2. Desejamos empregar este potencial para aprisionar uma partícula de massa M. Qual é a velocidade máxima v M da partícula, em x = 0, para que a mesma fique confinada no potencial?
  3. Para uma partícula com velocidade v   > v M , vinda de | x | A, podemos realizar o aprisionamento adicionando uma força dissipativa: na região entre - A   e   A , a partícula sofre pequenas variações de momento ∆ p , opostas ao seu deslocamento, a um intervalo médio τ   (muito menor que o tempo de voo nesta região), resultando em uma força de atrito constante F A = ∆ p τ se sua velocidade não for nula. Qual a velocidade máxima de aprisionamento da partícula em função dos parâmetros desta armadilha?

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A energia potencial de ligação entre átomos de moléculas diatômicas pode ser descrita, dentro de certos limites, pelo gráfico ao lado, dado pela equação

U r = a r 12 - b r 6

onde r é a distância entre os núcleos dos átomos, a e b são constantes.

a) Qual a equação da força F ( r ) entre os átomos?

b) Determine a distância de equilíbrio r 0 .

c) Determine a energia potencial mínima U 0 .

Dê suas respostas somente em termos de a e b .

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Uma partícula de massa m executa um movimento unidimensional e possui energia potencial cuja dependência com a coordenada x é U x = a x 2 - b x onde a e b são constantes positivas.

(a) Encontre a expressão da força que atua sobre a partícula como função da posição;

(b) Faça esboços das funções energia potencial e força como funções da posição da partícula.

(c) Encontre a(s) posição(ões) de equilíbrio da partícula sob a ação dessa força e classifique-o(s) de acordo com a estabilidade;

(d) Determine qual(ais) o(s) intervalo(s) de energia mecânica E m e c para o(s) qual(is) uma partícula sujeita a essa força possui movimento numa região limitada da reta.

(e) Determine qual(ais) o(s) intervalo(s) de energia mecânica E m e c para o(s) qual(is) uma partícula sujeita a essa força pode ser encontrada a distâncias arbitrariamente grandes da origem.

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A energia potencial de um sistema é dada pela função U x = - x 3 + 2 x 2 + 4 x .

a) Determine a força F x como uma função de x ;

b) Para quais valores de x a força é nula?

c) Faça o gráfico de F x versus x ;

d) Faça o gráfico de U ( x ) versus x e indique os pontos de equilíbrio estável e instável.

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Uma partícula move-se sob a ação de uma única força conservativa, cuja energia potencial associada está representada na figura abaixo.

Considerando que num dado instante de tempo a partícula está na posição x = 6   m , com uma energia mecânica total E = 15   J , assinale abaixo a afirmativa que descreve corretamente os pontos de retorno à esquerda e à direita da partícula em metros, respectivamente x e e x d :

(a) 2 < x e < 4 , e 4 < x d < 6 .

(b) 2 < x e < 4 , e 8 < x d < 10 .

(c) 4 < x e < 6 , e 8 < x d < 10 .

(d) 6 < x e < 8 , e 8 < x d < 10 .

(e) x e indeterminado, e 0 < x d < 2 .

(f) x e indeterminado, e 8 < x d < 10 .

(g) Não é possível determinar os pontos de retorno.

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Um aparato bastante utilizado em Nanotecnologia é o microscópio de força atômica, que permite medir a força de interação entre a superfície da ponteira e a superfíce de uma amostra em escala nanométrica. Dentre os modelos usados para descrever essa interação está um variante do potencial Lennard-Jones, conhecido como potencial 9 - 6 , cuja forma funcional é dada abaixo:

U z = A [ B z 9 - B z 6 ]

Onde z é a distância entre a ponteira e a amostra, A e B são parâmetros do potencial, com unidades de energia distância, respectivamente, com A > 0 e B > 0 .

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A figura mostra a energia potencial simétrica V ( x ) de uma partícula que se move ao longo do eixo x sob a ação da força resultante F → = F x   î associada a V ( x ) . A partícula se encontra confinada neste potencial e possui energia total E   >   0 , também representada no mesmo gráfico. Assinale a afirmação FALSA

  1. a partícula fica em repouso ao passar pelo ponto x = 0

(b) o módulo da velocidade é máximo quando a partícula passa pelos pontos B e C

(c) o movimento da partícula não está limitado entre os pontos A e D

(d) a força F é nula apenas nos pontos B, C e x = 0

(e) o ponto C corresponde a um ponto de equilíbrio estável

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Uma partícula se move na direção x sob a ação de uma força F ( x ) cuja energia potencial associada a ela é dada por U ( x )   = a x 2 - b x 3 . Quais são os pontos de equilíbrio associados a esta energia potencial?

(A) x   =   0   e   x   =   a / b  

(B) x   =   0   e   x   =   ( 2 a ) / ( 3 b )  

(C) x   =   a / b   e   x   =   ( 2 a / ( 3 b )

(D) x   =   0   e   x   =   -   ( 2 a ) / ( 3 b )  

(E) x   =   -   a / b   e   x   =   a / b

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O gráfico mostra a energia potencial em função da distância de um objeto em movimento ao longo do eixo x. Em qual dos pontos marcados há um equilíbrio estável?

  1. A
  2. B
  3. C
  4. D
  5. E

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Uma partícula se desloca ao longo do eixo x sujeita à energia potencial U ( x ) mostrada na figura. Sabendo que x = 9 m é um ponto de retorno. Qual é a energia cinética da partícula em x = 6 m ?

(a) 10 J

(b) 8 J

(c) 2 J

(d) 0 J

(e) 4 J

(f) 20 J

(g) 15 J

(h) - 7 J

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Um objeto se move ao longo do eixo x sob a ação de uma forca conservativa. A energia potencial U ( x ) associada a essa força é mostrada na figura ao lado. Sabe-se que x   =   4,0   m é um ponto de retorno. Se E c é a energia cinética do sistema em x   =   1,0   m e F é a componente da forca ao longo da trajetória do objeto no trecho 3,0   m   <   x   <   4,0   m , assinale a alternativa correta:

(a) E c ≈ 8 J ,   F > 0

(b) E c ≈ 6 J ,   F < 0

(c) E c ≈ 9 J ,   F > 0

(d) E c ≈ 6 J ,   F > 0

(e) E c ≈ 8 J ,   F < 0

(f) E c ≈ 6 J ,   F = 0

(g) E c ≈ 7 J ,   F > 0

(h) E c ≈ 9 J ,   F < 0

(i) E c ≈ 7 J ,   F < 0

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Uma partícula é lançada em x   =   0   m com energia cinética K   =   5   J , viajando ao longo do eixo x horizontal e submetida a uma forca F ( x ) horizontal cuja energia potencial U ( x ) é conhecida (veja gráfico). A partícula pode se mover somente ao longo do eixo x e não existem forças dissipativas.

Assinale a alternativa correta:

(a) O trabalho necessário para levar a partícula de x   =   0   m até x   =   6   m só pode ser determinado se conhecermos a massa da partícula.

(b) A energia cinética da partícula no ponto P depende do tempo que a partícula permanece no potencial.

(c) A partícula tem energia suficiente para alcançar a posição x   =   12   m .

(d) O trabalho necessário para levar a partícula da origem até o ponto de equilíbrio estável é positivo.

(e) O ponto P é um ponto de retorno.

(f) A velocidade da partícula em x   =   3   m é nula.

(g) A força exercida sobre a partícula no ponto P é positiva

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Considere o movimento unidimensional de uma partícula ao longo do eixo x . Tal partícula está submetida a uma única força, e U ( x ) – mostrada na figura – é a função energia potencial associada a esta força. Analise as afirmações abaixo:

I. A, B e D são pontos de equilíbrio.

II. A partícula irá acelerar no sentido negativo do eixo x se estiver no ponto E.

III. B é um ponto de equilíbrio estável.

IV. D é um ponto de equilíbrio estável.

V. D é um ponto de equilíbrio indiferente.

VI. Em C a partícula irá acelerar no sentido negativo do eixo x .

Marque a alternativa que contém apenas as VERDADEIRAS.

(a) I, II e III

(b) I, III e V

(c) I, II e V

(d) I, III e IV

(e) I, IV e V

(f) II, IV e V

(g) I, II e IV

(h) III, IV e V

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