Enunciado

33. Um próton (massa de repouso 1,67 ⋅ 10 - 27 ) apresenta uma energia total que é quatro vezes a sua energia de repouso. Qual é a ) a energia cinética do próton; b ) o módulo do momento linear do próton; c ) a velocidade do próton?

Passo 1

O enunciado nos diz que a nossa energia total é quatro vezes a energia de repouso, então:

E T = 4 m c 2

Mas podemos escrever a energia total da seguinte maneira, temos:

E T = m c 2 + K

Então é só isolar K e calculá-la, assim encontramos a energia cinética do próton.

Agora podemos encontrar o momento linear usando a seguinte expressão para a energia total.

E T 2 = m c 2 2 + p c 2

Então basta isolar o momento e calculá-lo.

E por último podemos encontrar a velocidade do próton escrevendo a energia total da seguinte maneira:

E T = m c 2 1 - v 2 / c 2

Então temos que isolar a velocidade e então podemos achar seu valor.

Passo 2

Então, vamos começar achando a energia cinética, temos:

E T = m c 2 + K

⇒ K = E T - m c 2

Lembrando que E T = 4 m c 2 , então temos que:

K = 4 m c 2 - m c 2

K = 3 m c 2

Substituindo os valores de c e m , temos:

K = 3 1,67 ⋅ 10 - 27 3 ⋅ 10 8 2

⇒ K = 4,51 ⋅ 10 - 10   J

Passo 3

Agora partimos para encontrar o momento do próton, temos:

E T 2 = m c 2 2 + p c 2

⇒ p c 2 = E T 2 - m c 2 2

Sabemos que E T = 4 m c 2 , temos:

p c 2 = 16 m c 2 2 - m c 2 2

⇒ p c 2 = 15 m c 2 2

⇒ p c = 15 m c 2

Então temos que:

p = 15 m c

Agora substituindo os valores de m e c , temos:

p = 15 ( 1,67 ⋅ 10 - 27 ) ( 3 ⋅ 10 8 )

⇒ p = 1,94 ⋅ 10 - 18   k g ⋅ m / s

Passo 4

E por último partimos para encontrar a velocidade do próton, temos:

E T = m c 2 1 - v 2 / c 2

⇒ 1 1 - v 2 / c 2 = E T m c 2

Sabemos que E T = 4 m c 2 , temos:

1 1 - v 2 / c 2 = 4 m c 2 m c 2

⇒ 1 1 - v 2 / c 2 = 4

⇒ 1 - v 2 / c 2 = 1 4

Agora elevando os dois lados ao quadrado, temos:

1 - v 2 c 2 = 1 16

⇒ v 2 c 2 = 1 - 1 16

⇒ v 2 c 2 = 15 16

Então temos que:

v = 0,968 c

Substituindo o valor de c , temos que:

v = 0,968 ( 3 ⋅ 10 8 )

⇒ v = 2,904 ⋅ 10 8   m / s

Resposta

( a )

K = 4,51 ⋅ 10 - 10   J

( b )

p = 1,94 ⋅ 10 - 18   k g ⋅ m / s

( c )

v = 2,904 ⋅ 10 8   m / s

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