Enunciado

29. a ) Para qual valor da velocidade o momento linear de uma partícula é igual ao dobro do valor da expressão não-relativística m v ? Expresse sua resposta em termos da velocidade da luz. b ) Uma força é aplicada a uma partícula ao longo da mesma direção de seu movimento. Para qual velocidade a força necessária para produzir uma dada aceleração é duas vezes maior do que a força necessária para produzir a mesma aceleração quando a partícula está em repouso? Expresse sua resposta em termos da velocidade da luz.

Passo 1

O item ( a ) quer a velocidade considerando o momento relativístico que faça esse momento ser igual a 2 m v , então na real temos que:

m v 1 - v 2 / c 2 = 2 m v

Então temos que isolar v e encontrar ele em termos de v .

O problema do item ( b ) é a mesma coisa do item ( a ) , só que agora estamos considerando a força em vez do momento, queremos uma velocidade que faça com que a força relativística seja igual a 2 m a , então temos que:

γ 3 m a = 2 m a

Só que de onde vamos tirar a velocidade? Fique calmo, ela vem de γ , já que:

γ = 1 1 - v 2 / c 2

Passo 2

Vamos começar com o caso do item ( a ) , temos que:

m v 1 - v 2 / c 2 = 2 m v

⇒ 1 1 - v 2 / c 2 = 2

⇒ 2 1 - v 2 / c 2 = 1

⇒ 1 - v 2 / c 2 = 1 2

Elevando os dois lados ao quadrado temos que:

1 - v 2 c 2 = 1 4

⇒ v 2 c 2 = 1 - 1 4

⇒ v 2 = 3 4 c 2

Então temos que:

v = 0,886 c

Passo 3

Então só falta o item ( b ) e é ele que nós vamos fazer kkk.

Temos que:

γ 3 m a = 2 m a

⇒ γ 3 = 2

⇒ γ = 2 1 / 3

Uma coisa boa que vai nos facilitar a vida mais a frente é elevar os dois lados ao quadrado, assim:

γ 2 = 2 2 / 3

Agora substituindo o γ pela expressão mostrada no passo 1 , temos:

1 1 - v 2 / c 2   = 2 2 / 3

⇒ 1 - v 2 c 2 = 2 - 2 / 3

⇒ v 2 c 2 = 1 - 2 - 2 / 3

⇒ v 2 = 1 - 2 - 2 / 3 c 2

Então temos que:

v = 0,608 c

Resposta

( a )

v = 0,886 c

( b )

v = 0,608 c

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