Enunciado

34. Qual é o trabalho realizado sobre uma partícula com massa m para que ela seja acelerada a ) desde o repouso até uma velocidade igual a 0,090 c ? b ) Desde uma velocidade de 0,900 c até uma velocidade igual a 0,990 c ? (Expresse sua resposta em termos de m c 2 .) c ) Como você compara a resposta do item ( a ) com a do item ( b ) ?

Passo 1

Para conseguir resolver esse problema temos que lembrar de um conceito muito importante que relaciona trabalho com energia cinética, temos que:

W = Δ K

⇒ W = K f - K i

Trabalho é iguala a variação de energia cinética. Mas por que resolver o problema por esse caminho? Simples, o enunciado nos deu a velocidades finais e iniciais, então fica fácil encontrar a energia cinética final e inicial, já que

K = γ - 1 m c 2

E que:

γ = 1 1 - v 2 / c 2

Passo 2

Para o item ( a ) temos que a velocidade inicial é 0 e final é 0,090 c , então:

K i = 0

K f = γ f - 1 m c 2

= 1 1 - v f 2 / c 2 - 1 m c 2

Substituindo v = 0,090 c , temos que:

K f = 1 1 - 0,0081 c 2 / c 2 - 1 m c 2

= ( 1,00407 - 1 ) m c 2

⇒ K f = 4,07 ⋅ 10 - 3 m c 2

Então temos que:

W = 4,07 ⋅ 10 - 3 m c 2

Passo 3

Para o item ( b ) temos que a velocidade inicial é 0 , 900 e final é 0 , 9 90 c , então:

K i = γ i - 1 m c 2

= 1 1 - v i 2 / c 2 - 1 m c 2

Substituindo v = 0 , 9 00 c , temos que:

K i = 1 1 - 0,81 c 2 / c 2 - 1 m c 2

= ( 2,29 - 1 ) m c 2

⇒ K i = 1,29 m c 2

Energia cinética final é dada por:

K f = γ f - 1 m c 2

= 1 1 - v f 2 / c 2 - 1 m c 2

Substituindo v = 0 , 9 90 c , temos que:

K f = 1 1 - 0 , 9 8 0 1 c 2 / c 2 - 1 m c 2

= ( 7,08 - 1 ) m c 2

⇒ K f = 6,08 m c 2

Então temos que:

W = 6,08 m c 2 - 1,29 m c 2

⇒ W = 4,79 m c 2

Passo 4

Podemos ver quer mesmo o item ( a ) e o item ( b ) tendo a mesma variação de velocidade o trabalho em ( b ) é muito maior do que em ( a ) .

Resposta

( a )

W = 4,07 ⋅ 10 - 3 m c 2

( b )

W = 4,79 m c 2

( c )

O trabalho em ( b ) é muito maior do que em ( a ) .

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