Enunciado

38.19. Em uma série de experiências com um átomo hipotético de um elétron, você mede os comprimentos de onda dos fótons emitidos nas transições que terminam no nível fundamental (n=1), como mostra o diagrama de níveis de energia da Figura 38.37. Você também observa que são necessários 17,5 eV para ionizar esse átomo. A) Qual é a energia do átomo em cada um dos níveis (n=1, n=2 etc.) mostrados na figura? B) Se um eletron fez uma transição do nível n=4 para o nível n=2, que comprimento de onda de luz ele emitiria?

Passo 1

Temos que começar calculando a energia do átomo para cada um dos níveis. Sabemos o seguinte

Δ E = h c λ

Ou seja, a diferença de energia de um nível para o outro depende do comprimento de onda.

Veja, a gente sabe pelo enunciado que

E 1 = - 17,5   e V

Já que a energia de transição do nível mais perto da superfície para fora do átomo é 0 . Como a energia para ionização é 17,5   e V , então E 1 = - 17,5   e V

E para transição n = 5 → 1 :

E 5 - E 1 = h c λ

Então

E 5 + 17,5 = 6,63 ⋅ 10 - 34 1,602 ⋅ 10 - 19   ⋅ 2,998 ⋅ 10 8 73,86 ⋅ 10 - 9

Fazendo essa conta

E 5 = 16,79 - 17,5 = - 0,71   e V

Repara que a gente tem que colocar a constante de Planck em e V ⋅ s

Agora vamos usar o mesmo raciocínio para calcular os outros níveis. Vamos fazer para n = 4 → 1

E 4 - E 1 = h c λ

Então

E 4 + 17,5 = 6,63 ⋅ 10 - 34 1,602 ⋅ 10 - 19   ⋅ 2,998 ⋅ 10 8 75,63 ⋅ 10 - 9

Fazendo essa conta

E 4 = 16 , 40 - 17,5 = - 1,1   e V

Agora vamos fazer n = 3 → 1

E 3 - E 1 = h c λ

Então

E 3 + 17,5 = 6,63 ⋅ 10 - 34 1,602 ⋅ 10 - 19   ⋅ 2,998 ⋅ 10 8 7 9,76 ⋅ 10 - 9

Fazendo essa conta

E 3 = 15,56 - 17,5 = - 1 , 94   e V

E finalmente n = 2 → 1

E 2 - E 1 = h c λ

Então

E 2 + 17,5 = 6,63 ⋅ 10 - 34 1,602 ⋅ 10 - 19   ⋅ 2,998 ⋅ 10 8 94,54 ⋅ 10 - 9

Fazendo essa conta

E 2 = 13,12 - 17,5 = - 4,38   e V

Pronto, temos a energia de todas as camadas:

E 1 = - 17,5   e V E 2 = - 4,38   e V E 3 = - 1,94   e V E 4 = - 1,1   e V E 5 = - 0,71   e V

Passo 2

Agora vamos para o item (b). Temos que calcular o comprimento de onda de uma transição. Bom, podemos usar a mesma equação que estávamos usando no passo anterior. O enunciado descreve o caso onde n = 4 → 2 . Então

E 4 - E 2 = h c λ

Então

λ = h c E 4 - E 2

Agora é só substituir os valores

λ = 6,63 ⋅ 10 - 34 1,602 ⋅ 10 - 19   ⋅ 2,998 ⋅ 10 8 - 1,1 + 4,38

E isso vai dar

λ = 378   n m

Resposta

  1. E 1 = - 17,5   e V E 2 = - 4,38   e V E 3 = - 1,94   e V E 4 = - 1,1   e V E 5 = - 0,71   e V
  2. 378   n m
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