Enunciado

Os níveis de energia de rotação para a molécula C O calculados no exercício 42.2 e as diferenças dos níveis de energia de vibração foram dados no exemplo 42.3 . As energias de vibração-rotação são dadas pela equação 42.9 . Calcule o comprimento de onda do fóton absorvido pelo C O em cada uma das seguintes transições de vibração-rotação:

  1. n = 0 ,   l = 1 ; → n = 1 ,   l = 2 ;
  2. n = 0 ,   l = 2 ; → n = 1 ,   l = 1 ;
  3. n = 0 ,   l = 3 ; → n = 1 ,   l = 2 .

Passo 1

Olá, tudo bem? Sabemos que pra cada transição ser possível, temos que analisar tanto a energia vibracional, quanto a rotacional, certo?

A fórmula que calcula a energia vibracional tem a ver com o número quântico n e se calcula assim ó:

E n = n + 1 2 ℏ ω

E a energia rotacional tem a ver com o número quântico l e a gente calcula desse jeito:

E l = l l + 1 ℏ 2 2 I

E a energia total de cada nível é dada pela soma das energias de rotação e de vibração:

E = n + 1 2 ℏ ω + l l + 1 ℏ 2 2 I

Para a molécula C O as energias vibracional e rotacional são essas aqui:

ℏ ω = 0,269 e V

ℏ 2 2 I = 0,2395 × 10 - 3 e V

Então, para cada transição de energia Δ E , temos um fóton associado de comprimento de onda λ que podemos encontrar da seguinte fórmula:

Δ E = h c λ

Bom, essa é a ideia para resolver essa questão. Para cada par de estados, calcular as energias de cada um, achar a diferença e depois jogar nessa última expressão e achar o comprimento de onda, sacou?

Mas calma, vou fazer isso passinho por passinho e para cada uma das letras. Bora lá?

Passo 2

Letra a)

  1. n = 0 ,   l = 1 ; → n = 1 ,   l = 2 ;
  2. A energia inicial com n = 0 ,   l = 1 é:

    E i = 0 + 1 2 ℏ ω + 1 1 + 1 ℏ 2 2 I = 1 2   ℏ ω + 2 ℏ 2 2 I

    E a energia final com n = 1 ,   l = 2   é:

    E f = 1 + 1 2 ℏ ω + 2 2 + 1 ℏ 2 2 I = 3 2 ℏ ω + 6 ℏ 2 2 I

    A variação de energia Δ E = E f - E i é:

    Δ E = 3 2 ℏ ω + 6 ℏ 2 2 I - 1 2   ℏ ω + 2 ℏ 2 2 I = ℏ ω + 4 ℏ 2 2 I = 0,269 + 4 0,2395 × 10 - 3 = 0,27 e V

    E por fim o comprimento de onda associado a essa variação de energia é:

    λ = h c Δ E = 4,136 × 10 - 15 . 3 × 10 8 0,27 = 4,59 × 10 - 6 = 4,59 μ m

    Beleza até aqui? Agora vamos repetir esse processo todo mais duas vezes =)

    Passo 3

    Letra b)

  3. n = 0 ,   l = 2 ; → n = 1 ,   l = 1 ;
  4. A energia inicial com n = 0 ,   l = 2 é:

    E i = 0 + 1 2 ℏ ω + 2 2 + 1 ℏ 2 2 I = 1 2   ℏ ω + 6 ℏ 2 2 I

    E a energia final com n = 1 ,   l = 1   é:

    E f = 1 + 1 2 ℏ ω + 1 1 + 1 ℏ 2 2 I = 3 2 ℏ ω + 2 ℏ 2 2 I

    A variação de energia Δ E = E f - E i é:

    Δ E = 3 2 ℏ ω + 2 ℏ 2 2 I - 1 2   ℏ ω + 6 ℏ 2 2 I = ℏ ω - 4 ℏ 2 2 I = 0,269 - 4 0,2395 × 10 - 3 = 0,268 e V

    E por fim o comprimento de onda associado a essa variação de energia é:

    λ = h c Δ E = 4,136 × 10 - 15 . 3 × 10 8 0,268 = 4,62 × 10 - 6 = 4,62 μ m

    Passo 4

    Letra c)

  5. n = 0 ,   l = 3 ; → n = 1 ,   l = 2 ;

A energia inicial com n = 0 ,   l = 3 é:

E i = 0 + 1 2 ℏ ω + 3 3 + 1 ℏ 2 2 I = 1 2   ℏ ω + 12 ℏ 2 2 I

E a energia final com n = 1 ,   l = 2   é:

E f = 1 + 1 2 ℏ ω + 2 2 + 1 ℏ 2 2 I = 3 2 ℏ ω + 6 ℏ 2 2 I

A variação de energia Δ E = E f - E i é:

Δ E = 3 2 ℏ ω + 6 ℏ 2 2 I - 1 2   ℏ ω + 12 ℏ 2 2 I = ℏ ω - 6 ℏ 2 2 I = 0,269 - 6 0,2395 × 10 - 3 = 0,267 e V

E por fim o comprimento de onda associado a essa variação de energia é:

λ = h c Δ E = 4,136 × 10 - 15 . 3 × 10 8 0,267 = 4,63 × 10 - 6 = 4,63 μ m

Show! Vamos pra próxima? =D

Resposta

a )   4,59 μ m

b )   4,62 μ m

c ) 4,63 μ m

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