Enunciado

38.28. a) Mostre que, quando n se torna muito grande, os níveis de energia do átomo de hidrogênio se aproximam cada vez mais em energia. B) Os raios desses níveis de energia se aproximam também?

Passo 1

O cálculo da energia de um nível n qualquer do hidrogênio é dado por

E n = - 13,6 n 2

Bom, a gente pode calcular o nível de energia para n + 1 , e aí a gente vai poder calcular a variação da energia para a transição de quaisquer níveis.

E n + 1 = - 13,6 n + 1 2

Vamos calcular Δ E

Δ E = E n + 1 - E n

Δ E = - 13,6 n 2 - - 13,6 n + 1 2

Vamos agora colocar - 13,6   em evidência

Δ E = - 13,6 1 n 2 - 1 n + 1 2

Então

Δ E = - 13,6 n 2 - n + 1 2 n 2 n + 1 2

Passo 2

Agora a gente conseguiu uma equação que relaciona a variação de energia com n . O que precisamos responder é o que acontece com Δ E conforme n aumenta.

Bom, vamos analisar nossa equação. A gente tem uma fração, isso significa que nós podemos seguir o seguinte raciocínio, se o numerador for maior que o denominador, Δ E aumenta, caso contrário Δ E diminui. O numerador é a parte de cima da fração e o denominador é a de baixo. Tanto o numerador quanto o denominador têm os mesmos termos, mas o numerador tem uma subtração enquanto o denominador tem uma multiplicação, por tanto

n 2 n + 1 2 ≥ n 2 - n + 1 2

O denominador é maior que o numerador, e consequentemente a variação de energia diminui.

Esse resultado mostra que quanto maior n se torna, os níveis de energia tendem a ter uma variação menor de energia, então a energia de um nível é muita próxima da energia do seu nível sucessor.

Passo 3

Agora vamos para o item (b). Para calcular o raio de uma órbita de um n qualquer, a gente pode usar a equação

r n = n 2 r 1

Essa equação é mais fácil de analisar. O raio da órbita é proporcional ao quadrado do nível, então, quanto maior o nível de energia, maior o raio. O raio cresce com uma certa constância nesse caso, diferente da energia, só temos um numerador, isso quer dizer que o raio vai ficando cada vez mais longe do centro. Com a mesma taxa de crescimento n 2 . Então a resposta é não.

Resposta

b) Não.

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