Enunciado

41. Um projétil é lançado da Terra na direção e no sentido do movimento terrestre em torno do Sol. Qual é o valor mínimo de velocidade que o projétil necessita ter com relação à Terra a fim de escapar do Sistema Solar? Despreze a rotação da Terra.

Dica: Este problema pode ser dividido em três partes. Primeiro, encontre a velocidade que um projétil precisa possuir, à distância da Terra, para escapar do Sol. Transforme essa velocidade para o sistema de referência da Terra e, depois, determine o valor de velocidade que o projétil precisa ter no lançamento a fim de estar com aquele valor de velocidade quando estiver muito distante da Terra

Passo 1

O enunciado já nos dar uma colinha do que precisamos encontrar antes do resultado.

Primeiro ele fala para achar a velocidade que um projétil precisa, à distância da Terra, para escapar do Sol e para isso vamos fazer uso da conservação de energia.

Depois, transformar essa velocidade para o sistema de referência da Terra onde vamos ver que essa velocidade encontrada na primeira parte é a soma de outras duas velocidades.

E aí sim teremos como conseguir o nosso resultado, então, vamos lá!

Passo 2

Seguindo a dica do enunciado vamos achar a velocidade que um projétil precisa, à distância da Terra, para escapar do Sol, ou seja, nós queremos descobrir quem é v e s c a p e .

Vamos então usar a conservação de energia para o projétil:

K i + U g i = K f + U g f

Quando o objeto escapar não terá mais uma energia potencial já que ele irá sair do “domínio” do Sol, então:

1 2 m v e s c a p e 2 - G M m R = 0   J

Onde m é a massa do projétil, M é a massa do Sol e R é distância do Sol a órbita circular que a Terra está. Resolvendo isso teremos:

v e s c a p e = 2 G M R =   2 ( 6,67 ⋅ 10 - 11 N   m 2 / k g ) ( 1,99 ⋅ 10 30   k g ) 1,50 ⋅ 10 11 = 4,207 ⋅ 10 4   m / s

Mas não é isso que o exercício pede, então vem comigo!

Passo 3

O exercício quer o valor mínimo de velocidade que o projétil necessita ter com relação à Terra a fim de escapar do Sistema Solar. Sendo assim ele quer a velocidade lançamento ( v l ) .

E como vamos achar essa velocidade? Bom, a velocidade total do projétil ( v e s c a p e ) é a soma da velocidade de lançamento com a velocidade da Terra.

v e s c a p e = v l + v T

Temos v e s c a p e mas precisamos v T e tem uma forma simples de achá-la.

Passo 4

A velocidade da Terra em sua órbita é encontrada da seguinte forma:

v T = 2 π R T

Tanto R quanto T são valores tabelados, então:

v T = 2 π ( 1,50 ⋅ 10 11   m ) 3,156 ⋅ 10 7 s = 2,987 ⋅ 10 4   m / s

Agora nos falta substituir os valores da equação do passo anterior.

Passo 5

Fazendo a substituição:

v e s c a p e = v l + v T ⇒ v l = v e s c a p e - v T

Ou seja:

v l = 4,207 ⋅ 10 4   m / s   - 2,987 ⋅ 10 4   m / s = 1,22 ⋅ 10 4   m / s

Resposta

v l = 1,22 ⋅ 10 4   m / s  

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