Enunciado

38. Um sistema estelar binário é formado por duas estrelas, cada qual com a mesma massa de nosso Sol, separadas por 1,0 ⋅ 10 12   m . Um cometa encontra-se muito distante e está praticamente em repouso. Lentamente, porém com certeza, a gravidade puxará o cometa em direção às estrelas. Suponha que o cometa desloque-se em uma linha reta que passa pelo ponto médio entre as duas estrelas. Qual é a velocidade do cometa neste ponto?

Passo 1

Para que a energia mecânica seja conservada vamos pensar em um sistema onde as estrelas são massas esféricas e o cometa é uma massa pontual pois assim teremos um sistema isolado. Vamos analisar os dois momentos (final e inicial) para entender como a energia está sendo conservado no problema.

No estado inicial o cometa está a uma GRANDE distância das estrelas o que faz não o sistema não possuir energia cinética nem energia potencial. Já no estado final, quando o cometa passa pelo ponto médio, o cometa está sendo atraído pelas estrelas e se aproximando delas com uma certa velocidade, ou seja, agora tem ambas energias no sistema.

Então podemos fazer o exercício

Passo 2

Vamos fazer a conservação lembrando do que falamos sobre as energias no passo anterior.

1 2 m v f 2 - G M e s t r e l a - 1 m R e s t r e l a - 1 - G M e s t r e l a - 2 m R e s t r e l a - 2 = 0   J + 0   J

As estrelas são binárias e possuem a mesma massa do Sol então sabemos que M e s t r e l a - 1 = M e s t r e l a - 2 = M e R e s t r e l a - 1 = R e s t r e l a - 2 = R .

Queremos saber quem é v f então vamos isolá-lo e substituir os valores que possuímos.

v f = 2 2 G M R   = 4 ( 6,67 ⋅ 10 - 11   N   m 2 / k g ² ) ( 1 , 99 ⋅ 10 30 k g ) 0 , 5 0 ⋅ 10 12   m = 32.586,2   m / s

Resposta

v f = 32.586,2   m / s

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