Enunciado

43. Um feixe de elétrons é um feixe de fótons passam por fendas idênticas. Em uma tela distante, a primeira franja escura ocorre no mesmo ângulo para ambos os feixes. A velocidade dos elétrons é bem menor do que a da luz. a ) Expresse a energia de um fóton em termos da energia cinética K de um dos elétrons. b ) Qual é maior, a energia de um fóton ou a energia cinética de um elétron?

Passo 1

Para resolver esse problema pessoal, teremos que usar nossos conhecimentos de óptica, lembrando da difração por fenda única.

Mas por quê?

Porque os fótons e os elétrons nesse caso apresentam comportamento ondulatório sofrendo difração.

Lembrando que para fenda única temos a seguinte equação:

a sen ⁡ θ = m λ

Então tanto o elétron, quanto o fóton obedecem a essa equação. E como temos o mesmo ângulo para ambos (segundo o enunciado) e o mesmo a , ambos teram o mesmo comprimento de onda λ .

Podemos usar m = 1 para os dois já que estamos usando a informação de que a PRIMEIRA franja escura de ambos ocorre no mesmo local.

Só precisamos de mais duas informações para resolver esse problema. A energia do fóton é dada por:

E = h c λ

E o comprimento de onda de De Broglie para o elétron é dada por:

λ = h p

Onde p para o elétron pode ser escrito como:

p = 2 m K

Agora vamos atrás do objetivo.

Passo 2

Agora vamos fazer o seguinte sabemos que para o elétron temos que:

λ = h p

Logo, temos que:

λ = h 2 m K

E para o fóton temos que:

E = h c λ

⇒ λ = h c E

E como vimos no passo 1 os fótons e os elétrons têm o mesmo comprimento de onda, logo:

h c E = h 2 m K

⇒ c E = 1 2 m K

Então temos que:

E = c 2 m K

Pronto, encontramos a energia do fóton em termos da energia cinética do elétron.

Passo 3

Agora temos que analisar se a energia do fóton é maior que a energia cinética do elétron.

Do passo anterior, encontramos que:

E = c 2 m K

Agora vamos usar uma estratégia, vamos dividir os dois lados da equação por K , se provarmos que a razão E / K > 1 , temos que E > K .

Então:

E K = c 2 m K K

⇒ E K = 2 m c 2 K

A energia cinética do elétron depende de sua velocidade e o enunciado nos disse que a velocidade do elétron é muito menor que a da luz (que é a velocidade do próton), então temos que:

K ≪ m c 2

Logo a razão

2 m c 2 K > 1

Então temos que:

E K > 1

Logo:

E > K

Resposta

( a )

E = c 2 m K

( b )

E > K

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