Enunciado

42. Um feixe de prótons e um feixe de partículas alfa (de massa 6,64 ⋅ 10 - 27   k g e carga + 2 e ) são acelerados a partir do repouso através da mesma diferença de potencial e passam por orifícios circulares idênticos em uma película fina e opaca. Quando observado à distância do orifício, o feixe de prótons difratado forma seu primeiro anel escuro a 15 ° em relação à sua direção original. Quando observado da mesma forma que anteriormente, em que ângulo a partícula alfa forma seu primeiro anel negro?

Passo 1

Para resolver esse problema pessoal, teremos que usar nossos conhecimentos de óptica, lembrando da difração por fenda circular.

Mas por quê?

Porque os prótons e as partículas alfa nesse caso apresentam comportamento ondulatório sofrendo difração. Lembrando que para fenda circular temos a seguinte equação que fornece os ângulos onde ocorre as franjas escuras:

sen ⁡ θ = 1,22 λ D

Onde D é o diâmetro da fenda circular.

Mas para encontrarmos o ângulo que o enunciado quer precisamos saber o λ das partículas alfa.

Para encontrar esse ângulo sem precisar saber diretamente o λ das partículas, vamos fazer algumas manipulações para encontrarmos esse resultado com o que o enunciado nos dá.

Passo 2

Vamos fazer o seguinte, tanto os prótons quanto as partículas alfa seguem a fórmula do passo 1 , então:

sen ⁡ θ p = 1,22 λ p D

sen ⁡ θ α = 1,22 λ α D

Fazendo a razão entre essas duas equações ficamos com:

sen ⁡ θ α sen ⁡ θ p = λ α λ p

Passo 3

Agora vamos usar substituir λ usando a equação de De Broglie, dada por:

λ = h p

Sendo que o momento p é dada por:

p = 2 m K

Então temos um momento para o próton e um para a partícula alfa.

Agora analisando a energia cinética de cada um, conseguimos encontrar relação entre elas que é:

K α = 2 K p

Já que as partículas alfa tem o dobro do peso do próton e os dois são acelerados pelo mesmo potencial. Então nosso momento fica da seguinte maneira.

p p = 2 m p K p

p α = 2 m α K α

⇒ p α = 4 m α K p

Passo 4

Assim ficamos com o seguinte:

sen ⁡ θ α sen ⁡ θ p = h / p α h / p p

⇒ sen ⁡ θ α sen ⁡ θ p = p p p α

⇒ sen ⁡ θ α sen ⁡ θ p = 2 m p K p 4 m α K p

Então ficamos com o seguinte:

sen ⁡ θ α sen ⁡ θ p = m p 2 m α

⇒ sen ⁡ θ α = sen ⁡ θ p m p 2 m α

Conseguimos uma expressão para encontrar θ α a parti do que conhecemos.

Substituindo os valores que conhecemos ficamos com:

sen ⁡ θ α = sen ⁡ ( 15 ° ) ( 1,67 ⋅ 10 - 27 ) 2 ( 6,64 ⋅ 10 - 27 )

⇒ sen ⁡ θ α = 0,0918

⇒ θ α = 5,3 °

Resposta

θ α = 5,3 °

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