Enunciado

51. Procurando planetas. Os Telescópios Keck, em Mauna Kea, no Havaí utilizam um espelho com 10,0   m de diâmetro. Esses telescópios conseguem resolver planetas do tamanho de Júpiter que orbitam ao redor da estrela mais próxima de nós, Alpha Centauri, que está a 4,28 anos-luz de distância?

Passo 1

A pergunta do enunciado de uma forma mais clara é se daria para observar planetas do tamanho de júpiter com esse telescópio, mas o que um telescópio consegue ver de um planeta é seu diâmetro, então esse tamanho que falei é o diâmetro.

Mas responder isso precisamos ver o mínimo de diâmetro que esse telescópio consegue capitar, para a situação de um planeta a uma distância de 4,28 anos-luz.

Para achar esse mínimo, podemos usar a equação 36.17 , dada por:

sen ⁡ θ = 1,22 λ D

Agora se liga no seguinte, sabemos que seno pode ser dado como cateto oposto sobre hipotenusa, podemos chamar de y (diâmetro mínimo de um planeta que pode ser observável) de cateto oposto e de s (distância do telescópio até o planeta) a hipotenusa, temos que:

y s = 1,22 λ D

Assim basta isolar y e substituir os valores que conhecemos e encontramos o diâmetro mínimo.

Lembrando que 1   a n o - l u z = 9,461 ⋅ 10 15   m então s = 4,05 ⋅ 10 16   m

E o λ podemos escolher da ordem de 400   n m = 400 ⋅ 10 - 9   m que é um dos menores comprimentos de onda para a luza visível.

O parâmetro D é o tamanho do orifício onde a luz passa, no caso o diâmetro do espelho.

Passo 2

Vamos encontrar y então, temos:

y s = 1,22 λ D

⇒ y = 1,22 s λ D

Substituindo os valores que temos, ficamos com:

y = 1,22 ( 4,05 ⋅ 10 16 ) ( 400 ⋅ 10 - 9 ) ( 10 )

y = 197,64 ⋅ 10 7   m

= 19,76 ⋅ 10 8   m

Passo 3

Agora, temos que o diâmetro de júpiter é da ordem de 1,38 ⋅ 10 8   m , então podemos ver que o mínimo que o telescópio consegue é maior que o diâmetro de júpiter, então a resolução para os planetas do tamanho de júpiter não é boa, logo o telescópio não consegue capturar bem planetas desse tamanho.

Resposta

O mínimo que o telescópio consegue é maior que o diâmetro de júpiter, então a resolução para os planetas do tamanho de júpiter não é boa, logo o telescópio não consegue capturar bem planetas desse tamanho.

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