Enunciado

56. Projeto de rede. O seu patrão lhe pede para projetar uma rede de difração que deverá dispersar o espectro de primeira ordem visível com um intervalo angular de 15 ° (ver Exemplo 36.4 na Seção 36.5 ). a ) Qual deve ser o número de fendas por centímetro nessa rede? b ) Em que ângulos o espectro visível de primeira ordem começa e termina?

Passo 1

Vamos lá, quando o enunciado diz espectro de primeira ordem já tem que vir na nossa mente que m = 1 , caso ele apareça em algum momento.

Uma informação que vai nos ser útil é saber que o espectro de luz visível vai de λ V = 400   n m (violeta) até λ R = 700   n m (vermelho).

No exemplo 36.4 , podemos ver que uma expressão que associa a distância das fendas com o número de fendas por centímetro.

d = 1 N

Mas o que fazemos com isso?

Então, se lembrarmos da seguinte expressão que contém d .

d sen ⁡ θ = m λ

Podemos substituir na fórmula na expressão mais acima (lembrando que m = 1 ), assim:

λ sen ⁡ θ = 1 N

⇒ λ = 1 N sen ⁡ θ

Então para acharmos N precisamos conhecer um λ para um certo θ .

Mas a única coisa que temos são os comprimentos de onda do vermelho e do violeta que mencionei acima, vamos ter que nos virar a partir deles.

Uma pergunta que o item ( b ) faz é os ângulos em que começa e termina o espectro visível. Para responder isso, temos que lembrar que o espectro começa no violeta e termina no verde.

Então queremos saber quem é θ V e θ R e vamos consegui-los a partir do desenvolvimento de ( a ) e a parti da informação dada pelo enunciado de que θ R - θ V = 15 ° .

Passo 2

Então a expressão que cheguei no passo 1 fica da seguinte maneira quando consideramos o comprimento de onda do violeta e do vermelho.

λ V = 1 N sen ⁡ θ V

λ R = 1 N sen ⁡ θ R

Substituindo os valores de λ V e λ R , temos:

400 ⋅ 10 - 9 = 1 N sen ⁡ θ V

700 ⋅ 10 - 9 = 1 N sen ⁡ θ R

Agora vamos dividir uma pela outra já que temos o mesmo N . Assim:

sen ⁡ θ R sen ⁡ θ V = 7 4 = 1,75

Passo 3

Agora vamos usar a seguinte informação:

θ R - θ V = 15 °

⇒ θ R = 15 ° + θ V

Agora vamos substituir isso na expressão que chegamos no passo anterior, temos:

sen ⁡ ( 15 ° + θ V ) sen ⁡ θ V = 1,75

Agora vamos usar nossos conhecimentos de trigonometria e abrir o termo do numerador, assim:

sen ⁡ 15 ° cos ⁡ θ V + sen ⁡ θ V cos ⁡ 15 ° sen ⁡ θ V = 1,75

⇒ sen ⁡ 15 ° cot ⁡ θ V + cos ⁡ 15 ° = 1,75

Vamos isolar cot ⁡ θ V , assim:

cot ⁡ θ V = 1,75 - cos ⁡ 15 ° sen ⁡ 15 °

= 0,784 0,259

Temos que:

cot ⁡ θ V = 3,027

Então temos que:

θ V = 18,3 °

Passo 4

Agora que sabemos pelo menos θ V podemos achar N , temos o seguinte:

400 ⋅ 10 - 9 = 1 N sen ⁡ θ V

⇒ N = sen ⁡ θ V 400 ⋅ 10 - 9

Substituindo o valor de θ V , temos:

N = sen ⁡ 18,3 ° 400 ⋅ 10 - 9

Então temos que:

N = 7,85 ⋅ 10 5   l i n h a s / m

Passo 5

No desenvolvimento do item ( a ) encontramos uma das respostas de ( b ) , agora para encontrar a outra basta usar:

θ R = 15 ° + θ V

Substituindo o valor de θ V , temos:

θ R = 15 ° + 18,3 °

⇒ θ R = 33,3 °

Resposta

( a )

N = 7,85 ⋅ 10 5   l i n h a s / m

( b )

θ V = 18,3 °

θ R = 33,3 °

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