Enunciado

57. A aproximação WKB. É um desafio resolver a equação de Schrödinger para os níveis de energia de estados ligados de um poço de potencial arbitrário. Um método alternativo que pode fornecer resultados aproximados para os níveis de energia é conhecido como aproximação WKB (sigla dada em homenagem aos físicos Gregor Wentzel, Hendrik Kramers e Léon Brillouin). A aproximação WKB começa com três afirmações físicas: i ) De acordo com De Broglie, o módulo do momento linear p de uma partícula é dado por p = h / λ . i i ) O módulo do momento linear é relacionado com a energia cinética K por   K = p 2 / 2 m . i i i ) Quando não existe nenhuma força não-conservativa, de acordo com a mecânica newtoniana a energia E de uma partícula é constante e dada em cada ponto pela soma da energia cinética com a energia potencial: E = K + U ( x ) , onde x é a coordenada. a ) Combine as três relações anteriores para mostrar que o comprimento de onda de uma partícula para uma coordenada x é dado por

λ x = h 2 m [ E - U ( x ) ]

Portanto, imaginamos na mecânica quântica uma partícula em um poço de potencial U ( x ) como se fosse uma partícula livre, porém com um comprimento de onda λ ( x ) que depende da posição. b ) Quando a partícula se desloca para uma região com uma energia potencial crescente, o que ocorre com seu comprimento de onda? c ) Em um ponto no qual E = U ( x ) , a mecânica newtoniana afirma que a partícula possui energia cinética zero e que ela está instantaneamente em repouso. Tal ponto é chamado de ponto cssico de inversão, visto que ele correspondente ao ponto onde a partícula para e retorna na mesma direção em sentido contrário. Como exemplo, um objeto que executa um movimento harmônico simples oscila para a frente e para trás entre os pontos x = - A e x = + A ; ambas as extremidades são um

ponto clássico de inversão, visto que nesses pontos a energia potencial 1 2 k ' x 2 é igual à energia total 1 2 k ' A 2 . Na expressão WKB para λ ( x ) , qual é o comprimento de onda no ponto clássico de inversão? d ) Para uma partícula em uma caixa de comprimento L , as paredes da caixa são pontos clássicos de inversão (veja a Figura 40.1 ). Além disso, o número de comprimentos de onda que completam o comprimento da caixa deve ser um número semi-inteiro (veja a Figura 40.3 ), de modo que L = ( n / 2 ) λ e, portanto, L / λ = n / 2 , onde n = 1 ,   2 ,   3 … [Note que essa é uma outra forma de expressar a Equação ( 40,7 ) .] O método WKB para determinar os níveis de energia permitidos de estados ligados de um poço de potencial arbitrário é uma extensão das

observações anteriores. Ele exige que para um nível de energia E permitido deve existir um número semi-inteiro de comprimentos de onda entre os dois pontos clássicos de inversão para a energia considerada. Visto que o comprimento de onda na aproximação WKB não é constante, porém depende de x , o número de comprimentos de onda entre os dois pontos clássicos de inversão a e b para a energia considerada é obtido pela integral de 1 / λ ( x ) entre esses pontos:

∫ a b d x λ ( x ) = n 2                     ( n = 1,2 , 3 , … )

Usando a expressão de λ ( x ) que você encontrou no item ( a ) , mostre que a condição WKB para as energias permitidas de estados ligados pode ser escrita na forma

∫ a b 2 m [ E - U ( x ) ]   d x = n h 2                     ( n = 1,2 , 3 , … )

e ) Para conferir essa solução, aplique a expressão obtida no item ( d ) para uma partícula em uma caixa com paredes em x = 0 e x = L . Calcule a integral e mostre que as energias permitidas obtidas pelo método WKB concordam com as energias fornecidas pela Equação ( 40.9 ) . (Sugestão: visto que as paredes da caixa possuem altura infinita, os pontos x = 0 e x = L são pontos clássicos de inversão para qualquer energia E . No interior da caixa a energia

potencial é igual a zero.) f ) Para o poço quadrado finito indicado na Figura 40.6 , mostre que a aproximação WKB fornecida no item ( d ) faz a mesma previsão dos estados de energia feita para um poço finito com a mesma largura. (Sugestão: suponha E < U 0 . Então, os pontos de inversão clássicos correspondem a x = 0 e x = L .) Isso mostra que à aproximação WKB não é eficiente quando a energia potencial varia descontinuamente como no caso de um poço de potencial finito. Nos dois problemas apresentados a seguir, consideraremos situações em que a energia potencial varia gradualmente e a aproximação WKB é muito mais eficiente.

Passo 1

É meu povo, esse enunciado nem é grande kkk. Para resolver esse problema, vamos discutir cada item separadamente em cada passo. Juntos vamos resolver isso, vamos lá!

Passo 2

Vamos começar com o item ( a ) . Nele o que temos que fazer é juntar as três afirmações físicas mostradas no enunciado. O principal que extraímos de cada um é o seguinte:

i )     p = h λ

i i )     K = p 2 2 m

i i i )     E = K + U ( x )

Vamos juntá-las e isolar o comprimento de onda λ e mostrar que ele é dado pela expressão mostrada no enunciado.

Primeiro vamos isolar K na expressão ( i i i ) , temos:

K = E - U ( x )

Agora vamos substituir na expressão ( i i ) e isolar p , temos:

E - U ( x ) = p 2 2 m

⇒ p = 2 m [ E - U ( x ) ]

Agora vamos substituir o que encontramos na expressão ( i ) e isolar λ , assim:

2 m [ E - U ( x ) ] = h λ

⇒ λ x = h 2 m [ E - U ( x ) ]

Passo 3

Agora vamos analisar o item ( b ) . O que ele pede é bem simples, ele quer que avaliemos o que ocorre com λ quando U ( x ) aumenta, vamos analisar isso através da seguinte equação:

λ x = h 2 m [ E - U ( x ) ]

Olhando essa expressão temos que quando U ( x ) aumenta então a diferença E - U ( x ) se torna cada vez menor, logo o denominador da nossa expressão se torna menor, com isso temos que o nosso comprimento de onda fica cada vez maior.

Passo 4

Agora vamos analisar o item ( c ) . O que ele pede é bem simples, ele quer que avaliemos o que ocorre com λ quando E = U ( x ) , vamos analisar isso através da seguinte equação:

λ x = h 2 m [ E - U ( x ) ]

Olhando essa expressão temos que quando E = U x a diferença E - U ( x ) vai a zero, com isso o nosso denominador vai a zero, logo temos que λ x → ∞ .

Passo 5

Agora vamos analisar o item ( d ) .

Esse item pede para que chegamos em uma expressão a parti de outra, ele quer que mostremos o seguinte:

∫ a b d x λ ( x ) = n 2 → ∫ a b 2 m [ E - U ( x ) ]   d x = n h 2                     ( n = 1,2 , 3 , … )

Considerando que:

λ x = h 2 m [ E - U ( x ) ]

Para isso basta substituirmos essa expressão para λ ( x ) na primeira integral e mexer um pouco para chegar na segunda, assim:

∫ a b d x λ x = n 2

⇒ ∫ a b d x h / 2 m [ E - U ( x ) ]

⇒ ∫ a b d x h 2 m [ E - U ( x ) ] = n 2

Como h é constante podemos jogá-lo para fora da integral, assim:

1 h ∫ a b d x 2 m [ E - U ( x ) ] = n 2

⇒ ∫ a b d x 2 m [ E - U ( x ) ] = h n 2

Prontinho, chegamos onde queríamos.

Passo 6

Agora vamos analisar o caso do item ( e ) .

Para esse item teremos que calcular a integral da expressão que encontramos no passo anterior, só que para x = 0 e x = L e vamos usar a sugestão do enunciado de que dentro da caixa temos energia potencial igual a zero, assim U x = 0 .

Então, temos que:

∫ a b d x 2 m [ E - U ( x ) ] = h n 2

⇒ ∫ 0 L d x 2 m E = h n 2

Como 2 m E é constante podemos colocar para fora da integral, assim:

⇒ 2 m E ∫ 0 L d x = h n 2

⇒ 2 m E L - 0 = h n 2

⇒ L 2 m E = h n 2

Agora vamos isolar a energia E , temos que:

2 m E = h n 2 L

⇒ 2 m E = h 2 n 2 4 L 2

⇒ E = h 2 n 2 8 m L 2

Esse resultado concorda com a equação 40.9 .

Passo 7

Agora vamos analisar o caso do item ( f ) .

Então pessoal no poço finito nos limites de x = 0 e x = L os resultados são iguais ao do item ( e ) , logo as aproximações feita em ( d ) valem para o poço finito.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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