Enunciado

58. A aproximação WKB (Problema Desafiador 40.57 ) pode ser usada para determinar os níveis de energia de um oscilador harmônico. Nessa aproximação os níveis de energia são as soluções da equação

∫ a b 2 m E - U ( x )   d x = n h 2                     n = 1,2 , 3 …

onde E é a energia, U ( x ) é a função energia potencial e a e b são os dois pontos clássicos de inversão (os pontos em que E é igual à energia potencial, de modo que a energia cinética newtoniana é igual a zero). a ) Determine os pontos clássicos de inversão para um oscilador harmônico com energia E e constante da mola k ' . b ) Faça a integral da aproximação WKB e mostre que os níveis de energia nessa aproximação são dados por E n = ℏ ω , onde ω = k ' / m e n = 1,2 , 3 , … (Sugestão: lembre que ℏ = h / 2 π . Uma integral útil é dada por

∫ A 2 - x 2   d x = 1 2 x A 2 - x 2 + A 2 arcsen ⁡ x A

onde a r c s e n é a notação geralmente usada para a função inversa do seno. Note que a integral é par, de modo que a integral de - x até x é igual ao dobro da integral de 0 até x .) c ) Como os níveis de energia aproximados encontrados no item ( b ) se comparam com os níveis de energia verdadeiros indicados na Equação ( 40.26 ) ? A aproximação WKB fornece uma estimativa maior ou menor para os valores reais dos níveis de energia?

Passo 1

Bem, nesse problema teremos que nos lembrar que em um oscilador harmônico nos pontos de inversão temos que a energia total é igual a energia potencial nesse ponto, assim:

E = 1 2 k ' x 2

Então basta isolarmos x e encontramos o que o item a quer.

Para o item ( b ) temos que resolver a integral mostrada no enunciado para uma energia potencial elástica utilizando os pontos que encontramos em ( a ) como limites de integração.

E para o item ( c ) temos que apenas comparar o resultado de ( b ) com a equação 40.26 .

Passo 2

Vamos lá então, vamos começar com item ( a ) ,temos o seguinte:

E = 1 2 k ' x 2

Agora isolando x temos:

⇒ x 2 = 2 E k '

⇒ x = ± 2 E k '

Passo 3

Agora vamos calcular a integral pedida em ( b ) , temos o seguinte:

∫ a b 2 m E - U ( x )   d x = n h 2

Fazendo a = - 2 E / k , b = 2 E / k e sabendo que U x = k ' x 2 / 2 , ficamos com:

∫ - 2 E / k 2 E / k 2 m E - 1 2 k ' x 2   d x = n h 2

Antes de continuar com a integração vamos dá uma mexida em nosso integrando para que ele se pareça com a integral útil sugerida pelo enunciado.

Temos o seguinte:

2 m E - 1 2 k ' x 2 = 2 m E - m k ' x 2

= m k ' 2 E k ' - x 2

= m k ' 2 E k ' - x 2

Então nossa integral fica da seguinte forma:

m k ' ∫ - 2 E / k 2 E / k 2 E k ' - x 2   d x = n h 2

Agora ficamos com algo parecido com a integral sugerida no enunciado e lembrando que a integral é par, assim:

2 m k ' ∫ 0 2 E / k 2 E k ' - x 2   d x = n h 2

⇒ 1 2 2 m k ' x 2 E k ' - x 2 + 2 E k ' arcsen ⁡ x 2 E / k ' 0 2 E / k ' = n h 2

⇒ m k ' 2 E k ' 2 E k ' - 2 E k ' + 2 E k ' arcsen ⁡ 2 E / k ' 2 E / k ' = n h 2

Assim temos que:

m k ' 2 E k ' arcsen ⁡ ( 1 ) = n h 2

⇒ m k ' 2 E k ' π 2 = n h 2

Jogando o k ' para dentro da raiz ficamos com:

⇒ m k ' E π = n h 2

Lembrando que ω = k ' / m e isolando E ficamos com:

ω E π = n h 2

⇒ E = n h ω 2 π

Simplificando mais um pouco temos:

E = n ℏ ω

Passo 4

Agora vamos com o item ( c ) .

A equação 40.26 é a seguinte:

E = n + 1 2 ℏ ω

Comparando isso com o que encontramos, vemos que a expressão de ( b ) não contém o nível n = 0 , mas fora isso os resultados se diferem por ℏ ω / 2 , então temos uma boa aproximação.

Resposta

( a )

x = ± 2 E k '

( b )

E = n ℏ ω

( c )

A expressão encontrada em ( b ) não contém o nível n = 0 , mas fora isso temos uma boa aproximação.

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