Enunciado

Classicamente, a energia cinética média do oscilador harmônico é igual à energia potencial média. Suponha que esse resultado também seja verdadeiro para o oscilador harmônico mecânico quântico e use esse resultado, juntamente com o resultado do Problema 8, para determinar o valor esperado de 2px (em que px = mvx) para o estado fundamental do oscilador harmônico.

Passo 1

Bem, nós temos que a energia cinética do oscilador harmônico é:

p x 2 2 m

Para achar o valor esperado é só fazer essa substituição:

p x 2 2 m

Além disso, a energia potencial é:

k x 2 2

Assim, do mesmo jeito que a energia cinética:

k x 2 2

Se as duas são iguais, como o enunciado diz:

p x 2 2 m = k x 2 2

Dessa forma:

p x 2 = 2 m k x 2 2

p x 2 = m k x 2

Passo 2

No oscilador, temos a relação:

ω 0 2 = k m

k = m ω 0 2

Substituindo na relação do passo anterior:

p x 2 = m ( m ω 0 2 ) x 2

p x 2 = m 2 ω 0 2 x 2

Passo 3

Agora, vamos achar:

x 2 = ∫ - ∞ + ∞ x 2 ψ 0 x 2 d x

Já vimos no problema 8 os procedimentos até aqui:

x 2 = A 0 2 ∫ - ∞ + ∞ x 2 e - 2 a x 2 d x

Vamos fazer essa substituição:

y 2 = 2 a x 2

x 2 = y 2 2 a

x = y 2 a

d x = y d y 2 a x

d x = y 2 a y 2 a d y

d x = 2 a 2 a d y = 2 a - 1 / 2

Assim:

x 2 = A 0 2 ∫ - ∞ + ∞ y 2 2 a e - 2 a y 2 2 a 2 a - 1 / 2 d y

Fazendo as simplificações:

x 2 = A 0 2 ∫ - ∞ + ∞ y 2 2 a 3 / 2 e - y 2 d y

Arrumando:

x 2 = A 0 2 2 a 3 2 ∫ - ∞ + ∞ y 2 e - y 2 d y

Essa integral é tabelada:

x 2 = A 0 2 2 a 3 2 π 2

Além disso, no problema 7 vimos que:

A 0 2 = 2 m ω 0 h 1 2

Assim:

x 2 = 2 m ω 0 h 1 2 1 2 a 3 2 π 2

Onde a = m ω 0 2 ℏ :

x 2 = 2 m ω 0 h 1 2 1 2 m ω 0 2 ℏ 3 2 π 2

x 2 = 2 m ω 0 h 1 2 1 m ω 0 ℏ 3 2 π 2

Como ℏ = h 2 π :

x 2 = 2 m ω 0 h 1 2 1 2 π m ω 0 h 3 2 π 2

Vamos separar algumas coisas para ficar mais fácil de enxergar onde vamos simplificar:

x 2 = 2 m ω 0 h 1 2 2 π m ω 0 h - 3 2 π 2

x 2 = 2 m ω 0 h 1 2 2 m ω 0 h - 3 2 π - 3 2 π 1 2 1 2

Melhor assim né? Só fazer as contas:

x 2 = 2 m ω 0 h - 1 π - 1 1 2

x 2 = h 2 m ω 0 1 π   1 2

Como ℏ = h 2 π :

x 2 = ℏ 2 m ω 0

Passo 4

Opa, agora só falta substituir x 2 em:

p x 2 = m 2 ω 0 2 x 2

p x 2 = m 2 ω 0 2 ℏ 2 m ω 0

p x 2 = ℏ m ω 0 2

Resposta

p x 2 = ℏ m ω 0 2

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