Enunciado

56. Considere um poço de potencial definido do seguinte modo: U x = ∞ para x < 0 , U x = 0 para 0 < x < L e U x = U 0 > 0 para x > L (Figura 40.27 ). Considere uma partícula com massa m e energia cinética E < U 0 que está confinada no poço. a ) A condição de contorno sobre a parede infinita ( x = 0 ) é ψ 0 = 0 . Qual deve ser a forma da função de onda ψ ( x ) para 0 < x < L a fim de que ela possa satisfazer simultaneamente à equação de

Schrödinger e às condições de contorno? b ) A função de onda deve permanecer finita quando x → ∞ . Qual deve ser a forma da função de onda ψ ( x ) para x > L a fim de que ela possa satisfazer simultaneamente à equação de Schrödinger e à condição de contorno no infinito? c ) Imponha a condição de contorno de que ψ e d ψ / d x são contínuas para x = L . Mostre que as energias permitidas são obtidas das soluções da equação k cotg ⁡ k L = - κ ; onde k = 2 m E / ℏ e κ = 2 m U 0 - E / ℏ

Passo 1

Vamos analisar esse problema item por item separadamente para que a gente não se confunda, vamos lá então.

Esse problema pode ser comparado com o poço de potencial finito, pelo menos o lado direito e comparado a um poço infinito do lado esquerdo.

Passo 2

Para o caso do item ( a ) onde a partícula está entre 0 < x < L tendo uma energia E < U 0 , logo temos um caso parecido com um poço infinito pelo menos nesse intervalo, logo a função de onda é dada por:

ψ x = A sen ⁡ k x

Mas k não é dado da mesma forma, vai depender das condições de contorno.

Passo 3

No caso item ( b ) onde temos x > L para E < U 0 nossa função deve cair a zero. Assim, nossa função de onda é dada da mesma forma que para um poço de potencial finito para o lado de fora assim:

ψ x = C e κ x + D e - κ x

Só que no nosso caso teremos que C = 0 para que a função de onda zere para x → ∞ , assim:

ψ x = D e - κ x

Passo 4

Agora para o item ( c ) temos que aplicar as condições de contorno para as seguintes equações de onda para que a função de onda seja continua:

ψ 1 = A sen ⁡ k x

ψ 2 x = D e - κ x

Então temos o seguinte:

ψ 1 L = ψ 2 ( L )

⇒ A sen ⁡ k L = D e - κ L

d ψ 1 ( L ) d x = d ψ 2 ( L ) d x

⇒ k A cos ⁡ k L = - κ D e - κ L

Agora se dividirmos a segunda expressão que encontramos pela primeira que encontramos, temos o seguinte:

k cotg ⁡ k L = - κ

Então para resolver essa equação só numericamente pois temos a energia E dentro do argumento da cotangente e fora por meio de k e κ .

Mas concluindo, temos como achar a energia por meio dessa expressão.

Resposta

( a )

ψ x = A sen ⁡ k x

( b )

ψ x = D e - κ x

( c )

k cotg ⁡ k L = - κ

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