Enunciado

59. Em uma experiência de fenda dupla de Young, uma placa de vidro de espessura L e índice de refração n é colocada na frente da fenda superior. a ) Descreva qualitativamente o que ocorre com a figura de interferência. b ) Deduza uma expressão para a intensidade da luz sobre um ponto da tela em função de n , L e θ . O ângulo θ é o ângulo usual medido a partir do eixo central entre as duas fendas. Ou seja, deduza uma relação análoga à Equação ( 35.14 ) que envolva também n e L da placa de vidro. c ) Partindo do resultado obtido no tem ( b ) , deduza uma expressão para os ângulos θ que localizem os máximos da figura de interferência. (Ou seja, deduza uma relação análoga à Equação ( 35.4 ) .)

Passo 1

O Para fazer a descrição pedida em ( a ) temos que nos tocar que a placa de vidro acaba causando uma diferença de caminho pois o comprimento de onda nela muda de uma fator de 1 / n .

Para o item ( b ) temos que chegar em algo parecido com a equação ( 35.14 ) , mas chegaremos a isso a parti da equação 35.10 , dada por:

I = I 0 cos 2 ⁡ ϕ 2

O que vai mudar no nosso caso para o caso usual é a fase ganha pelos raios que passam pelo vidro. Então temos que achar ϕ para esse caso do enunciado.

Nessa situação teremos diferença de fase causada pela diferença de caminho e uma diferença de fase causada pela diferença de comprimento de onda causada pelo vidro.

Temos que a diferença de fase causada pela diferença de caminho é dada por:

ϕ 1 = 2 π λ 0 ( d sen ⁡ θ )

Onde λ 0 é o comprimento de onda no ar.

Agora temos que o número de comprimentos de onda através do vidro de comprimento L é dada por:

L λ = n L λ 0

Nesse mesmo comprimento L no caminho onde não temos o vidro temos uma quantidade de comprimentos de onda igual a:

L λ 0

Então a diferença de fase causa por essa diferença de comprimentos de onda é dada por:

ϕ 2 = 2 π n L λ 0 - L λ 0

= 2 π λ 0 n L - L

Depois é só juntarmos essas informações e encontrar o que o enunciado quer.

Agora para o ( c ) , queremos uma expressão para θ que localiza os máximos, para isso vamos usar a equação 35.10 , já que nos máximos temos a intensidade máxima e para ela ser máxima temos que:

cos 2 ⁡ ϕ 2 = 1

⇒ cos ⁡ ϕ 2 = ± 1

Onde temos que:

ϕ 2 = m π

Para m = ± 1 , ± 2 , ± 3 , …

A relação com o θ vai vir do ϕ que vamos tirar do desenvolvimento de ( b ) .

Passo 2

Vamos então terminar a explicação de ( a ) onde só dei uma breve introdução no passo 1 .

Como eu havia dito comprimento de onda no vidro é diminuído em um fator de 1   /   n , assim a luz que passa pela fenda superior, terá que fazer um caminho menor para produzir a mesma fase que ela tinha sem o vidro na tela. Portanto, o padrão de interferência é deslocado para baixo na tela.

Passo 3

Agora vamos deduzir a expressão pedida em ( b ) .

No passo 1 nós vimos as duas diferenças de fase que ocorrem nesse problema, a diferença de fase total será a soma das duas, assim:

ϕ = ϕ 1 + ϕ 2

⇒ ϕ = 2 π λ 0 d sen ⁡ θ + 2 π λ 0 n L - L

Então temos que:

ϕ = 2 π λ 0 ( d sen ⁡ θ + L ( n - 1 ) )

Agora substituindo isso na equação da intensidade que nós temos, ficamos com:

I = I 0 cos 2 ⁡ ϕ 2

⇒ I = I 0 cos 2 ⁡ 1 2 2 π λ 0 d sen ⁡ θ + L n - 1

Então temos que:

⇒ I = I 0 cos 2 ⁡ π λ 0 d sen ⁡ θ + L n - 1

Passo 4

Agora vamos encontrar a expressão para θ , como discutimos no passo 1 , t5emos que:

ϕ 2 = m π

Substituindo a expressão para ϕ que encontramos no passo anterior temos:

1 2 2 π λ 0 d sen ⁡ θ + L n - 1 = m π

⇒ 1 λ 0 d sen ⁡ θ + L n - 1 = m

⇒ d sen ⁡ θ + L n - 1 = m λ 0

Agora isolando sen ⁡ θ , temos:

d sen ⁡ θ = m λ 0 - L n - 1

⇒ sen ⁡ θ = m λ 0 - L n - 1 d  

Onde m = ± 1 , ± 2 , ± 3 , …

Resposta

( a )

O padrão de interferência é deslocado para baixo na tela.

( b )

I = I 0 cos 2 ⁡ π λ 0 d sen ⁡ θ + L n - 1

( c )

sen ⁡ θ = m λ 0 - L n - 1 d  

Onde m = ± 1 , ± 2 , ± 3 , …

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