Enunciado

49. Na Figura 35.3 , suponha que as fontes S 1 e S 2 estejam localizadas nos pontos y = d e y = - d , respectivamente. a ) Rescreva a Equação ( 35.1 ) em termos das coordenadas x e y em um ponto P da Figura 35.3 no qual ocorre interferência construtiva. b ) A expressão que você obteve no item ( a ) é a equação das curvas antinodais mostradas na Figura 35.3 . Mostre que essas curvas são hipérboles. (Sugestão: talvez seja conveniente fazer uma revisão da definição de hipérbole na geometria analítica.) c ) Repita o item ( a ) para a Equação ( 35.2 ) , que fornece a condição para que ocorra interferência destrutiva, e mostre que as curvas nodais (não mostradas na Figura 35.3 ) também são hipérboles.

Passo 1

Então galera, vamos para mais uma?

Temos o seguinte, para o item ( a ) , temos que reescrever a seguinte fórmula em termos de x e y .

r 2 - r 1 = m λ

Para isso temos que escrever as distancias r 1 e r 2 em termos de x e y , podemos calcular essas distancias entre as fontes e o ponto P como utilizando a expressão que fornece distância entre os pontos, assim:

r 1 = x P - x S 1 2 + y P - y S 1 2

r 2 = x P - x S 2 2 + y P - y S 2 2

Então é só juntar essas informações e conseguimos o que o item pede.

Mostrar que a equação é uma hipérbole temos que ver se ela se parece com a seguinte equação que define uma hipérbole.

x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1

Para o item ( c ) vamos usar as mesmas expressões de r 1 e r 2 que mostrei antes, mas agora na equação 35.2 , dada por:

r 2 - r 1 = m + 1 2 λ

Passo 2

Vamos então galera para o item ( a ) , temos o seguinte:

r 1 = x P - x S 1 2 + y P - y S 1 2

r 2 = x P - x S 2 2 + y P - y S 2 2

O enunciado fala que a posição das fontes é dada por:

y S 1 = d

y S 2 = - d

Logo a coordenada x para ambas é zero.

Então temos que:

r 1 = x P 2 + y P - d 2

r 2 = x P 2 + y P + d 2

Então nossa equação fica da seguinte forma:

x P 2 + y P + d 2 - x P 2 + y P - d 2 = m λ

Prontinho, era só isso que o item ( a ) queria.

Passo 3

Agora vamos mostrar que essa equação é a equação de uma hipérbole.

Temos o seguinte, m e λ são constantes, então podemos dividir os dois lados por m λ , assim:

x P 2 + y P + d 2 m λ - x P 2 + y P - d 2 m λ = 1

Onde podemos fazer o seguinte:

r 2 2 m λ - r 1 2 m λ = 1

Se você reparar temos algo mais ou menos parecido com a equação da hipérbole mostrada no passo 1 . Podemos considerar então que essas curvas são hipérboles.

Passo 4

Vamos então galera para o item ( c ) , temos o seguinte:

r 1 = x P - x S 1 2 + y P - y S 1 2

r 2 = x P - x S 2 2 + y P - y S 2 2

O enunciado fala que a posição das fontes é dada por:

y S 1 = d

y S 2 = - d

Logo a coordenada x para ambas é zero.

Então temos que:

r 1 = x P 2 + y P - d 2

r 2 = x P 2 + y P + d 2

Então nossa equação fica da seguinte forma:

x P 2 + y P + d 2 - x P 2 + y P - d 2 = m + 1 2 λ

Prontinho, era só isso que o item ( c ) queria.

Agora vamos mostrar que essa equação é a equação de uma hipérbole.

Temos o seguinte, ( m + 1 / 2 ) e λ são constantes, então podemos dividir os dois lados por ( m + 1 / 2 ) λ , assim:

x P 2 + y P + d 2 ( m + 1 / 2 ) λ - x P 2 + y P - d 2 ( m + 1 / 2 ) λ = 1

Onde podemos fazer o seguinte:

r 2 2 ( m + 1 / 2 ) λ - r 1 2 ( m + 1 / 2 ) λ = 1

Se você reparar temos algo mais ou menos parecido com a equação da hipérbole mostrada no passo 1 . Podemos considerar então que essas curvas são hipérboles.

Resposta

( a )

x P 2 + y P + d 2 - x P 2 + y P - d 2 = m λ

( b )

r 2 2 m λ - r 1 2 m λ = 1

( c )

x P 2 + y P + d 2 - x P 2 + y P - d 2 = m + 1 2 λ

r 2 2 ( m + 1 / 2 ) λ - r 1 2 ( m + 1 / 2 ) λ = 1

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