Enunciado

5.9. Uma partícula de 2,0 kg se move ao longo de um eixo x sob a ação de uma força variável. A posição da partícula é dada por x = 3,0   m + 4,0 m s t + c t 2 - 2,0 m s 3 t 3 , com x em metros e t em segundos. O fator c é uma constante. No instante t=3,0 s a força que age sobre a partícula tem um módulo de 36 N e aponta no sentido negativo do eixo x. Qual é o valor de c?

Passo 1

Então a gente tem uma partícula se movendo em uma única direção respeitando a equação

x   ( t ) = 3,0   m + 4,0 m s t + c t 2 - 2,0 m s 3 t 3

E a gente sabe qual é o valor da força em t = 3   s . Nesse instante a força é - 36   N , já que aponta no sentido negativo de x .

Bom, com essas informações a gente tem que descobrir o valor da constante c .

A gente pode usar a segunda lei de Newton:

F = m a

Vamos usar o instante t = 3 s , então a gente sabe a massa e a força.

- 36 = 2 a

Agora a gente sabe a aceleração

a = - 36 2 = - 18 m s 2

Passo 2

O valor da aceleração vai ajudar muito a gente, porque a segunda derivada da posição em relação ao tempo é a aceleração. Matematicamente temos

d 2 x d t 2 = a

Então vamos fazer essa derivada

  x t = 3 + 4 t + c t 2 - 2 t 3

Aqui a gente pode usar a regra da potência para derivar

d x t d t = 4 + 2 c t - 6 t 2

Agora vamos fazer isso de novo

d 2 x d t 2 = 2 c - 12 t

Bom, agora a gente tem a equação para aceleração

a = 2 c - 12 t

Mas a gente sabe o valor da aceleração no tempo t = 3,0   s . Então a gente pode descobrir o valor da constante c . Vamos isolar essa constante

2 c = a + 12 t

c = a + 12 t 2

Agora é só substituir os valores

c = - 18 + 12 3 2 = 9

Então esse é o valor da constante c .

Resposta

c = 9

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