Enunciado

62. Prótons e nêutrons (conjuntamente chamados de núcleons) são mantidos juntos dentro do núcleo de um átomo por uma força chamada de interação forte. Para separações muito pequenas, a interação forte entre dois núcleons é mais intensa do que a força elétrica repulsiva entre dois prótons - daí seu nome. Mas a interação forte enfraquece rapidamente com o aumento da distância entre os prótons. Um modelo bem-estabelecido para a energia

potencial de dois núcleons que interagem via interação forte é dado por

U = U 0 [ 1 - e - x / x 0 ]

onde x é a distância entre os centros dos dois núcleons, x 0 é uma constante de valor x 0 = 2,0 ⋅ 10 - 15   m e U 0 = 6,0 ⋅ 10 - 11   J .

a . Calcule e desenhe uma curva de energia potencial acurada desde x = 0 até x = 10 ⋅ 10 - 15   m . Calcule manualmente seu valor em 10 pontos ou use um software de computador para tal.

b . Efeitos quânticos são essenciais para uma compreensão adequada do comportamento dos núcleons. Apesar disso, vamos inocentemente considerar dois nêutrons como se eles fossem pequenas esferas eletricamente neutras e duras, com massa de 1,67 ⋅ 10 - 27   k g e diâmetro de 1,0 ⋅ 10 - 15   m . (Consideraremos nêutrons em vez de prótons a fim de evitar complicações advindas das forças elétricas entre os prótons.) Você segura dois nêutrons separados por uma distância de 5,0 ⋅ 10 - 15   m , medida entre seus centros, e depois os solta. Desenhe a linha da energia total para esta situação em seu diagrama do item a .

c . Qual é a rapidez de cada nêutron ao colidir um com o outro? Tenha em mente que os dois nêutrons estão em movimento.

Passo 1

Então galera todo o nosso problema gira em torno da expressão de energia potencial fornecida pelo enunciado.

No item ( a ) temos que desenhar um gráfico para essa energia potencial que é bem dizer um gráfico de exponencial. O s 10 pontos que o item pede não tem necessidade de calcular já que ele diz que podemos usar software.

A situação do item ( b ) inicialmente só temos a energia potencial agindo, assim basta calcular a energia potencial para essa situação e desenhar a linha que corresponde a energia que encontramos no gráfico.

Como vocês podem ver vamos primeiro vamos calcular a energia da situação do item ( b ) e depois vamos desenhar o gráfico pedido em ( a ) junto com a linha que o item ( b ) pede

Para o item ( c ) vamos usar a conservação de energia mecânica onde inicialmente só temo a energia potencial por conta da separação entre as esferas e no final temos a energia cinética da velocidade das esferas e a energia potencial referente a separa de um diâmetro das esferas já que elas estão coladas no final.

Passo 2

Primeiro vamos encontrar a energia total da situação do item ( b ) , que acaba correspondendo a energia potencial da separação entre as esferas. Temos:

U = U 0 [ 1 - e - x / x 0 ]

Substituindo com os valores que temos, assim:

U = ( 6 ⋅ 10 - 11 ) [ 1 - e - ( 5 ⋅ 10 - 15 / 2 ⋅ 10 - 15 ) ]

= ( 6 ⋅ 10 - 11 ) [ 1 - e - 2,5 ]

Então temos que:

U = 55,1 ⋅ 10 - 12   J

Passo 3

Agora podemos desenhar o gráfico pedido em ( a ) , junto com a linha pedida em ( b ) , assim temos:

Esse é o nosso gráfico e você pode ver a linha da energia total ( E T ) pedida em ( b ) .

Passo 4

Agora vamos para o item ( c ) , onde vamos usar a conservação de energia para encontrar a velocidade das esferas, temos:

K i + U i = K f + U f

Inicialmente só temos energia potencial, então:

U i = K f + U f

⇒ U 0 [ 1 - e - x i / x 0 ] = 1 2 m v 2 + 1 2 m v 2 + U 0 [ 1 - e - x f / x 0 ]

Temos que inicialmente temos x i = 5 ⋅ 10 - 15   m e no final temos x f = 1 ⋅ 10 - 15   m .

Essa energia inicial já calculamos no passo 2 . Vamos calcular a energia potencial final agora, temos:

U = ( 6 ⋅ 10 - 11 ) [ 1 - e - ( 1 ⋅ 10 - 15 / 2 ⋅ 10 - 15 ) ]

= ( 6 ⋅ 10 - 11 ) [ 1 - e - 0 , 5 ]

Então temos que:

U = 23,6 ⋅ 10 - 12   J

Agora temos o seguinte então:

55,1 ⋅ 10 - 12 = 1 2 m v 2 + 1 2 m v 2 + 23,6 ⋅ 10 - 12

⇒ m v 2 = 31,5 ⋅ 10 - 12

Lembrando que a massa das esferas vale 1,67 ⋅ 10 - 27   k g , assim:

v 2 = 18,9 ⋅ 10 15

Então temos que:

v = 1,37 ⋅ 10 8   m / s

Resposta

( a )

( b )

( c )

v = 1,37 ⋅ 10 8   m / s

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