Enunciado

63. No circuito indicado na Figura 30.23 , a chave S é fechada no instante t = 0 sem carga inicial no capacitor. ( a ) Determina a leitura em cada amperímetro e voltímetro logo após a chave S ser fechada. ( b ) Determine a leitura de cada instrumento após S estar fechada há muito tempo. ( c ) Determine a carga máxima no capacitor. ( d ) Desenha um gráfico qualitativo da leitura do voltímetro V 2 em função do tempo.

Passo 1

Nesse problema temos duas situações, a primeira é quando a chave S acaba de ser fechada então podemos considerar t = 0 e a situação em que a chave está fechada a muito tempo, assim temos t = ∞ .

No primeiro caso quando t = 0 a corrente no indutor é zero e a tensão no capacitor é zero.

Assim, o indutor pode ser tratado como interrupção no circuito e o capacitor pode ser substituído por um fio.

No segundo caso quando t = ∞ , a tensão no indutor vai a zero e não temos corrente no capacitor. O indutor pode ser substituído por um fio e o capacitor por uma interrupção no circuito.

Para achar a carga máxima no capacitor, temos que encontrar V 5 que só vai aparecer no caso de t → ∞ , já que a carga pode ser encontrada através da seguinte relação:

Q = C V 5

Passo 2

Vamos começar vendo tudo relacionado a situação do item ( a ) .

Primeiro como o indutor funciona como uma interrupção no circuito temos que V 3 = 0 .

Conseguimos tirar também a seguinte relação através do comportamento da tenção em um circuito, temos:

V 3 + V 2 = V 5

V 3 + V 2 = V 4

Logo:

V 4 = V 5

Mas no capacitor nessa situação temos que a tensão é zero, logo V 5 = 0 , então temos que V 4 = 0

Então, sabendo que V 3 = 0 a única maneira das expressões acima serem verdadeiras é que V 2 = 0 .

Agora como todos os outros a tensão é zero, então V 1 só pode ser igual a 40   V .

Sabendo disso podemos encontrar a corrente total que passa no circuito pela lei de Ohm, temos que:

V 1 = i R 1

⇒ i = V 1 R 1

= 40 50

⇒ i = 0,8   A

Agora para achar os valores nos amperímetros, temos que nos ligar que:

A 1 = A 2 + A 3 + A 4

Temos que A 1 é igual a corrente total do circuito já que ele está colocado depois de todos os elementos e temos que A 2 é iguala zero pois ele está depois do indutor.

Agora, A 4 deve ser iguala acorrente total do circuito já que o capacitor está fazendo o papel de um fio, então nossa expressão acima fica da seguinte forma:

0,8 = 0 + A 3 + 0,8

⇒ A 3 = 0

Passo 3

Agora vamos encontrar tudo relacionado ao item ( b ) primeiro vamos encontrar a corrente do circuito, para isso vamos usar a lei de Ohm para o circuito equivalente que é formado pelos resistores de 100   Ω , 5 0   Ω e 50   Ω .

Com essa situação temos que a resistência equivalente é:

R e q = 5 0 + 1 10 0 + 1 5 0 - 1

= 5 0 + 3 3,3

Então temos que:

R e q = 8 3 , 3   Ω

Agora podemos encontrar a corrente, temos:

ε = R e q i

⇒ i = ε R e q

= 4 0 8 3 , 3

Então temos que:

i = 0 , 48   A

Passo 4

Agora que temos o valor da corrente vamos encontrar os valores medidos nos voltímetros através da lei de Ohm.

Primeiro V 1 , temos:

V 1 = i R 1

= 0 , 48 5 0

⇒ V 1 = 24   V

Para V 2 temos que é igual a zero já que o indutor está se comportando como um fio.

Mas e V 3 , V 4 e V 5 como fica? Então, para elementos ligados em paralelo o mesmo potencial que vai para um caminho vai para o outro, como inicialmente depois de passar por R 1 ficamos com uma voltagem de 24     V , então temos que:

V 3 = V 4 = V 5 = 4 0 - 24

Logo:

V 3 = V 4 = V 5 = 16   V

Agora podemos achar os valores medidos nos amperímetros pela lei de Ohm.

Primeiro para A 4 temos que a medida é igual a zero já que o capacitor age como uma barreira.

Para os outros três amperímetros temos a seguinte relação:

A 1 = A 2 + A 3

Vamos encontrar a medida de A 2 , já que:

V 3 = i 2 R 3

⇒ i 2 = V 3 R 3

= 16 100

⇒ i 2 = 0,16   A

Agora encontrando a medida de A 3 . Temos:

V 4 = i 3 R 4

⇒ i 3 = V 4 R 4

= 16 5 0

⇒ i 3 = 0 , 32   A

Então temos que:

A 1 = 0,16 + 0,32 = 0,48   A

Passo 5

Agora podemos encontrar a carga máxima no capacitor temos que V 5 = 16   V e carga é dada por:

Q = C V 5

Substituindo os valores que conhecemos, temos:

Q = 12 ⋅ 10 - 6 ( 16 )

⇒ Q = 192 ⋅ 10 - 6   C

Passo 6

Agora para desenhar o gráfico pedido no item ( d ) , temos que observar algumas coisas. Em t = 0 , t → ∞ temos V 2 = 0 , essa tensão ela tem um crescimento e com o passar do tempo ela cai para zero, assim:

E é mais ou menos isso o que encontramos, onde a vertical se refere a voltagem e a horizontal se refere ao tempo.

Resposta

( a )

A 1 = A 4 = 0 , 8   A

A 2 = A 3 = 0

V 1 = 40   V

V 2 = V 3 = V 4 = V 5 = 0   V

( b )

A 1 = 0 , 48   A

A 2 = 0,1 6   A

A 3 = 0 , 32   A

A 4 = 0

V 1 = 24   V

V 2 = 0   V

V 3 = V 4 = V 5 = 16   V

( c )

Q = 192 ⋅ 10 - 6   C

( d )

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