Enunciado

64. Se um cilindro vertical de água (ou qualquer outro líquido) gira em torno de seu eixo, como mostra a FIGURA PD8.64, a superfície forma uma curva suave. Considerando que a água gire como uma unidade (i.e., toda ela gira com a mesma velocidade angular), mostre que a forma da superfície do líquido é uma parábola descrita pela equação z = ( ω 2 / 2 g ) r 2 .

Sugestão: cada partícula de água na superfície experimenta somente duas forças: a gravidade e a força normal devido à água embaixo dela. A força normal, como sempre, é exercida perpendicularmente à superfície

Passo 1

Se liga só!

Bora dar uma ajeitadinha na nossa figura anterior... Aqui está!

Em seguida, tomando um ponto qualquer da superfície e fazendo um diagrama de corpo livre para ele, obtemos a seguinte imagem abaixo...

Passo 2

Em seguida, uma vez que esse ponto está em equilíbrio na direção vertical... Para o eixo z , temos a seguinte equação...

n sen ⁡ θ - F G = 0

n sen ⁡ θ = F G

n sen ⁡ θ = m g

Isolando sen ⁡ θ :

sen ⁡ θ = m g n

Já para o eixo r , a outra componente da normal n → , vai ser a responsável por puxar o ponto para o centro da trajetória em um movimento circular. Em síntese, vai ser a nossa resultante centrípeta. De modo que ficamos com...

n cos ⁡ θ = m v 2 r

Isolando cos ⁡ θ :

cos ⁡ θ = m v 2 r n

Passo 3

Depois, dividindo sen ⁡ θ por cos ⁡ θ :

sen ⁡ θ cos ⁡ θ = m g n m v 2 r n

tan ⁡ θ = g v 2 r

tan ⁡ θ = g r v 2

tan ⁡ θ = g r ω 2 r 2

tan ⁡ θ = g r ω 2 r 2

Passo 4

Agora repara só!

A curva formada pelo giro do cilindro se assemelha muito a de uma função do 2 ° grau, cujo eixo de simetria passa exatamente pelo eixo z .

E como essa curva tem concavidade para baixo, então nossa equação vai ser a seguinte...

z = a r 2

Derivando z em relação a r ...

d z d r = 2 a r

Essa equação descreve a localização no nosso ponto C na curva!

Passo 5

E pegando o diagrama de corpo livre que fizemos, podemos ver que:

90 ° - θ = ϕ

Desse modo, bora usar a aproximação abaixo para a localização do nosso ponto C ...

C = tan ⁡ ϕ = tan ⁡ ( 90 ° - θ ) = 1 tan ⁡ θ

Ficamos então, com...

C = 1 tan ⁡ θ

2 a r tan ⁡ θ = 1

tan ⁡ θ = 1 2 a r

E igualando essa expressão com aquela outra do P a s s o   2 , que descobrimos para tan ⁡ θ ...

1 2 a r = g r ω 2 r 2

Isolando a ...

a = ω 2 r 2 2 g r 2

a = ω 2 2 g

Ficou moleza agora! Como z = a r 2 ... Subsituindo a expressão do a obtida anteriormente...

z = a r 2

z = ω 2 2 g ⋅ r 2

z = ω 2 r 2 2 g

Viu só! É a mesma expressão do enunciado

Sendo assim! Missão finalizada com sucesso!

Resposta

z = ω 2 r 2 2 g

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