Enunciado

65. Um planador executa um M H S com amplitude A 1 sobre um trilho de ar. Você freia o cavaleiro de modo que sua amplitude é reduzida à metade do valor inicial. O que ocorre com os valores: a ) do seu período, frequência, frequência angular; b ) da sua energia mecânica total; c ) da sua velocidade máxima; d ) da sua velocidade no ponto x = ± A 1 / 4 ; e ) da sua energia potencial e energia cinética no ponto x = ± A 1 / 4 .

Passo 1

Para resolver esse problema, temos que saber as fórmulas que definem cada grandeza que o enunciado tem interesse e ver como a mudança da amplitude influencia no resultado.

Primeiro vamos ver as formulas do que é pedido no item ( a ) , que são o período, a frequência e a frequência angular, temos respectivamente:

T = 2 π m k

f = 1 T

ω = 2 π f

Agora vamos ver a fórmula do item ( b ) que é a da energia mecânica total de um M H S , a energia total pode ser dada pela seguinte fórmula:

E = 1 2 k A 2

Para o item ( c ) temos a velocidade máxima de um M H S , que é dada pela seguinte equação:

v m á x = ω A

No item ( d ) ele quer a velocidade no ponto x = ± A 1 / 4 , podemos encontrar a velocidade em ponto qualquer assim de um M H S , usando a seguinte equação que provém da conservação de energia mecânica:

v x = ± k m A 2 - x 2

No item ( e ) ele quer a energia potencial e cinética no mesmo ponto do item anterior, sabemos que a energia potencial e a energia cinética, são dadas por:

U = 1 2 k x 2

K = 1 2 m v x 2

Essa velocidade da energia cinética, vai ser a mesma que encontramos no item anterior.

Agora vamos analisar o que a mudança na amplitude cada em cada uma dessas grandezas.

Passo 2

Vamos começar com a avaliar as grandezas pedidas no item ( a ) , temos as seguintes equações:

T = 2 π m k

f = 1 T

ω = 2 π f

Se você reparar, nenhuma delas leva em conta a amplitude, então a mudança na amplitude não interfere em nada nessas grandezas, elas se mantem as mesmas.

Passo 3

Agora vamos ver a energia mecânica total, que é dada por:

E 1 = 1 2 k A 1 2

A energia depende da amplitude ao quadrado, quando substituirmos essa amplitude pela nova, que é metade dessa, temos:

E 2 = 1 2 k A 1 2 2

⇒ E 2 = 1 2 k A 1 2 1 4

Que pode ser escrita em termos de E 1 , assim:

E 2 = 1 4 E 1

Passo 4

Agora vamos ver a velocidade máxima, que pode ser encontrada através da seguinte fórmula:

v 1 m á x = ω A 1

A velocidade máxima depende da amplitude linearmente, quando substituirmos essa amplitude pela nova, que é metade dessa, temos:

v 2 m á x = ω A 1 2

Que pode ser escrita em termos de v 1 m á x , assim:

v 2 m á x = v 1 m á x 2

Passo 5

Agora vamos ver como a velocidade no ponto x = ± A 1 / 4 , que pode ser encontrada através da seguinte fórmula:

v 1 x = ± k m A 1 2 - x 2

Vamos antes de avaliar como fica a nova velocidade substituir o x na equação, assim:

v 1 x = ± k m A 1 2 - A 1 4 2

⇒ v 1 x = ± k m A 1 2 - A 1 2 16

Assim, temos que:

v 1 x = ± k m 15 A 1 2 16

= ± 15 16 k m A 1

A velocidade nesse ponto depende da amplitude, quando substituirmos essa amplitude pela nova, que é metade dessa, temos:

v 2 x = ± k m A 1 2 4 - A 1 4 2

⇒ v 2 x = ± k m A 1 2 4 - A 1 2 16

⇒ v 2 x = ± k m 3 A 1 2 16

Temos então que:

v 2 x = ± 3 16 k m A 1

Que pode ser escrita em termos de v 1 x , assim:

v 2 x = ± v 1 x 5  

Passo 6

Agora vamos ver como fica a energia potencial e a cinética no ponto x = ± A 1 / 4   , que podem ser encontradas através das seguintes fórmulas:

U = 1 2 k x 2

E

K 1 = 1 2 m v 1 x 2

A energia potencial não depende de forma alguma da amplitude, então ela não muda com a mudança da amplitude

Agora a energia cinética depende da amplitude indiretamente, já que ela depende de v x , então quando mudamos a amplitude, ela deixa de depender de v 1 x e passa depender de v 2 x , então temos:

K 2 = 1 2 m v 2 x 2

Que pode ser escrita em termos de v 1 x , assim:

K 2 = 1 2 m v 1 x 5 2

⇒ K 2 = 1 2 m v 1 x 2 1 5

Que pode ser escrita em termos de K 1 , assim:

K 2 = K 1 5

Resposta

a

Os valores de T ,   f e ω não mudam

b

E 2 = E 1 4

( c )

v 2 m á x = v 1 m á x 2

( d )

v 2 x = ± v 1 x 5  

( e )

O valor da energia potencial não é alterado e a energia cinética adquiri um novo valor de K 2 = 1 5 K 1

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