Enunciado

67 . Durante um estágio como técnico em eletrônica, você é solicitado a medir a autoindutância L de um solenoide. Você conecta o solenoide em série com um resistor de

10,0   Ω , uma bateria com resistência interna desprezível e uma chave. Usando um voltímetro ideal, você mede e registra digitalmente a voltagem v L no solenoide em função do tempo t que se passou desde que a chave foi fechada. Seus valores medidos aparecem na Figura P 30.67 , onde v L é representado em função de t . Além disso, você mede que v L = 50,0   V logo depois que a chave é fechada e v L = 20,0   V muito tempo depois que ela é fechada. ( a ) Aplique a regra da malha ao circuito e obtenha uma equação para v L em função de t . (Dica: use uma análise semelhante à usada para deduzir a Equação 30.15 .) ( b ) Qual é a fem ε da bateria? ( c ) De acordo com suas medições, qual é a amplitude de voltagem no resistor de 10,0   Ω quando t → ∞ ? Use esse resultado para calcular a corrente no circuito quando t → ∞ . ( d ) Qual é a resistência R L do solenoide? ( e ) Use a equação teórica do item ( a ) , a Figura P 30.67 e os valores de ε e R L dos itens ( b ) e ( d ) para calcular L . (Dica: de acordo com a equação, qual é o valor de v L quando t = τ , uma constante de tempo? Use a Figura P 30.67 para estimar o valor de t = τ .)

Passo 1

Vem comigo a gente resolve essa juntos!

Nosso problema envolve um circuito R - L , onde temos uma bateria com resistência interna desprezível, um resistor com resistência R e um indutor com indutância L e resistência interna R L .

Nesse problema temos bastantes itens, então temos muitas coisas para calcular. Vamos então entender cada item e encontrar o que ele quer nos próximos passos.

Passo 2

Vamos começar com o item ( a ) .

Esse item quer que encontremos uma expressão para v L , que é a diferença de potencial no indutor, temos que:

v L = i R L + L d i d t

Só que temos que encontrar uma expressão para d i / d t . Podemos fazer isso usando a lei das malhas que nem o enunciado falou.

Levando em conta que temos uma bateria, um resistor e um indutor com resistência interna, a lei das malhas fica da seguinte forma:

ε - i R - i R L - L d i d t = 0

Então temos que resolver essa equação para i .

Passo 3

Vamos então resolver essa equação que encontramos! Temos:

ε - i ( R + R L ) = L d i d t

Vamos separar as variáveis.

d i d t = ε L - i ( R + R L ) L

⇒ d i d t = - ( R + R L ) L - ε ( R + R L ) + i

⇒ d i - ε ( R + R L ) + i = - ( R + R L ) L d t

Integrando os dois lados, do lado esquerdo de 0 a i e do lado direito de 0 a t , temos:

∫ 0 i d i - ε ( R + R L ) + i = ∫ 0 t - ( R + R L ) L d t

⇒ ln ⁡ i - ε R + R L - ε R + R L = - ( R + R L ) L t

Aplicando exponencial dos dois lados, temos:

i - ε R + R L - ε R + R L = e - ( R + R L ) L t

⇒ i = ε R + R L 1 - e - ( R + R L ) L t

Passo 4

Agora que temos i podemos encontrar v L , primeiro então vamos calcular d i / d t , assim:

d i d t = ε L e - ( R + R L ) L t

Então temos que:

v L = ε R + R L 1 - e - ( R + R L ) L t R L + ε e - ( R + R L ) L t

= ε R + R L R L - ε R + R L R L e - ( R + R L ) L t + ε e - ( R + R L ) L t

= ε R + R L R L - R L e - R + R L L t + R + R L e - R + R L L t

Então temos que:

⇒ v L = ε R + R L R L + R e - R + R L L t

Passo 5

Agora vamos para o item ( b ) .

Agora ele quer a fem da bateria, que no caso é ε , podemos usar a informação do enunciado de que em t = 0 que é quando a chave acabou de ser fechada, o potencial no indutor ( v L ) é igual a 50   V .

Então podemos jogar esses valores na expressão que encontramos no item ( a ) e calcular ε , assim:

50   V = ε R + R L R L + R e - R + R L L ( 0 )

⇒ 50   V = ε R + R L R L + R

Então temos que:

ε = 50   V

Passo 6

Agora para o item ( c ) .

Nesse item ele quer saber o valor de v R para um t → ∞ e quer saber a corrente nesse resistor para esse mesmo tempo.

Para encontrar a voltagem podemos usar a lei das malhas, já que conhecemos a fem que calculamos no item ( b ) e o enunciado diz que para t → ∞ a voltagem no indutor é v L = 20   V , assim temos:

ε - i R - i R L - L d i d t = 0

Usando que v R = i R e v L = i R L + L d i d t , temos:

50 - v R - 20 = 0

⇒ v R = 30   V

Passo 7

Para achar a corrente nesse resistor vamos usar o fato de que:

v R = R i

Então como conhecemos a voltagem v R e a resistência R é iguala a 10   Ω , temos:

i = v R R

Substituindo os valores que temos, ficamos com:

i = 30 10

⇒ i = 3   A

Passo 8

Agora vamos para cima do item ( d ) .

Agora ele quer o valor de R L , para achar esse cara, podemos usar a condição que para t → ∞ , temos que v L = 20   V e usando que:

v L = i R L + L d i d t

Como depois de muio tempo o a corrente para de variar, logo d i d t = 0 e usando o valor da corrente que encontramos no item anterior quando t → ∞ , temos:

20 = ( 3 ) R L

⇒ R L = 6,67   Ω

Passo 9

Agora finalmente o último item!! Item ( e ) .

Aqui ele quer o valor de L e fala para usarmos os resultados dos outros itens para isso e usar o gráfico também.

No item ( a ) , nós encontramos a seguinte equação:

v L = ε R + R L R L + R e - R + R L L t

Dessa equação podemos tirar que a constante τ é dada por:

τ = L R L + R

E o enunciado nos dá a dica de calcular v L para t = τ , porque se a gente conhece o valor de v L para esse instante, podemos char o valor desse instante t no gráfico.

E a gente tendo esse tempo t podemos calcular L através da expressão de τ ali de cima.

Vamos então encontrar v L , para esse caso, temos:

v L = ε R + R L R L + R e - R + R L L L R L + R

⇒ v L = ε R + R L R L + R e - 1

Substituindo os valores que conhecemos, temos:

v L = 50 10 + 6,67 6,67 + ( 10 ) e - 1

⇒ v L = 31   V

Olhando no gráfico do enunciado, temos que t = 2,4   m s = 2,4 × 10 - 3   s para essa voltagem.

Passo 10

Agora que temos esse instante t = τ podemos calcular o valor de L , temos:

τ = L R L + R

⇒ L = τ R L + R

Substituindo os valores que temos, ficamos com:

L = ( 2,4 × 10 - 3 ) ( 6,67 + 10 )

⇒ L = 0,04   H

Então finalmente conseguimos finalizar essa questão!

Resposta

( a )

v L = ε R + R L R L + R e - R + R L L t

( b )

ε = 50   V

( c )

v R = 30   V

i = 3   A

( d )

R L = 6,67   Ω

( e )

L = 0,04 H

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