Enunciado

68. Em uma experiência de laboratório de física, uma mola comprimida lança uma esfera metálica de 20   g segundo um ângulo de 30 ° . A compressão da mola em 20   c m faz com que a esfera atinja o solo, 1,5   m abaixo do ponto de lançamento após deslocar-se 5,0   m na horizontal. Qual é o valor da constante elástica?

Passo 1

Então galera primeiro vamos estabelecer primeiro os parâmetros que conseguimos extrair dessa situação.

Primeiro temos a massa da bola m = 20   g = 0 , 0 2   k g .

Temos o deslocamento da mola Δ s = 20   c m = 0,2   m .

Agora para continuarmos vamos definir três momentos, o momento 1 é quando a mola está contraída com a bolinha, o momento 2 é quando a bolinha está saindo depois que a mola a empurrou e por último o momento 3 é quando a bola atinge o chão.

Temos então o seguinte:

x 3 - x 2 = 5   m

y 3 - y 2 = - 1,5 - 0 = - 1,5   m

E temos que a velocidade no momento 1 é v 1 = 0 .

Para encontrar a constante elástica vamos usar a conservação de energia entre o primeiro momento e o segundo momento que é onde temos a atuação da mola, logo teremos energia potencial elástica e assim a presença de k .

Mas antes temos que encontrar a velocidade no momento 2 então vamos trabalhar nisso.

Passo 2

Vamos agora usar a seguinte equação:

x 3 = x 2 + v 2 x t 3 - t 2 + 1 2 a x t 3 - t 2 2

Através dessa equação vamos encontrar t 3 para depois usarmos essa informação para achar v 2 .

Nessa equação temos que a aceleração em x é zero, assim:

x 3 = x 2 + v 2 x t 3 - t 2

⇒ x 3 - x 2 = v 2 x ( t 3 - t 2 )

Como temos uma inclinação temos que v 2 x = v 2 cos ⁡ 30 ° , vamos substituir o que sabemos.

5 = v 2 cos ⁡ 30 ° ( t 3 - 0 )

Isolando t 3 , temos:

t 3 = 5 v 2 cos ⁡ 30 °

Passo 3

Agora que temos uma expressão para t 3 vamos usar a seguinte equação para encontrarmos v 2 .

y 3 = y 2 + v 2 y t 3 - t 2 + 1 2 a y t 3 - t 2 2

⇒ y 3 - y 2 = v 2 y t 3 - t 2 + 1 2 a y t 3 - t 2 2

Substituindo o que sabemos, temos:

- 1,5 = v 2 s en ⁡ 30 ° 5 v 2 cos ⁡ 30 ° + 1 2 ( - 9,8 ) 5 v 2 cos ⁡ 30 ° 2

⇒ - 1,5 = 2,88 - 163,33 v 2 2

Isolando v 2 , temos:

v 2 2 = 37,29

⇒ v 2 = 6,1   m / s

Passo 4

Agora vamos usar a conservação de energia, temos o seguinte:

K 1 + U 1 = K 2 + U 2

Lembrando que no momento 2 não temos mais energia potencial elástica, assim:

1 2 m v 1 2 + 1 2 k Δ s 2 + m g y 1 = 1 2 m v 2 2 + m g y 2

⇒ m v 1 2 + k Δ s 2 + 2 m g y 1 = m v 2 2 + 2 m g y 2

Agora um último detalhe é como podemos definir y 1 , já que a distância Δ s é na diagonal com uma inclinação de 30 ° , assim podemos fazer o seguinte:

y 1 = - Δ s sen ⁡ 30 °

Agora substituindo tudo o que sabemos na nossa expressão, temos:

m 0 2 + k Δ s 2 + 2 m g ( - Δ s sen ⁡ 30 ° ) = m v 2 2 + 2 m g ( 0 )

⇒ k Δ s 2 + 2 m g - Δ s sen ⁡ 30 ° = m v 2 2

⇒ k 0,2 2 + 2 0,02 9,8 - 0,2 sen ⁡ 30 ° = 0,02 6,1 2

⇒ 0,04 k - 0,0392 = 0,774

Então temos que:

k = 19,6   N / m

Resposta

k = 19,6   N / m

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