Enunciado

51. Você foi designado para projetar um “sistema balístico de mola” com a finalidade de medir a velocidade de balas. Uma bala de massa m é disparada contra um bloco de massa M . O bloco, com a bala incrustada nele, desliza, então, sobre uma mesa sem atrito e colide com uma mola horizontal de constante elástica k . A extremidade oposta da mola está ancorada numa parede. Mede-se, assim, a máxima compressão d atingida pela mola.

a . Obtenha uma expressão para a velocidade v B da bala em função de m ,   M ,   k e d .

b . Qual é a rapidez de uma bala de 5,0   g se a massa do bloco for de 2,0   k g e se a mola, com k = 50   N / m , for comprimida em 10   c m ?

c . Que fração da energia da bala foi “perdida”? O que aconteceu com ela?

Passo 1

Então galera, nesse problema temos uma colisão inelástica, então a bala depois de colidir com o bloco permanece grudada nele e assim temos um objeto de massa m + M .

Para encontrar o que o item ( a ) pede vamos usar a conservação do momento considerando o momento inicial antes da colisão e o momento final logo depois da colisão.

E vamos usar a conservação de energia mecânica, onde a energia inicial é dada pelo instante logo depois da colisão e a energia final é dada pelo instante em que a mola tem a máxima compressão.

O item ( b ) é só pegar a expressão que encontramos em ( a ) e substituir os valores que o enunciado nos deu e encontrar o valor de v B .

E para encontrar a fração de energia perdida (item ( c ) ) que no caso vai ser a cinética, temos que fazer a diferença de energia cinética que tínhamos inicialmente com a energia cinética que temos depois da colisão e dividir essa variação de energia pela energia total inicial (já que essa era total a energia do sistema inicialmente).

E depois vamos avaliar para onde foi essa energia perdida.

Passo 2

Começando com o item ( a ) .

Então galera vamos começar fazendo a conservação do momento do nosso problema, temos o seguinte:

p i = p f

⇒ m v i m + M v i M = m + M v f

Como sabemos do enunciado a velocidade inicial do bloco é nula e temos que v i m = v B , assim temos:

m v B = m + M v f

v f = m v B m + M

Agora para continuarmos vamos para a conservação de energia nos instantes que falei no passo 1 .

Passo 3

Vamos então conservar essa energia, temos:

K i + U i = K f + U f

Levando em consideração os instantes que estamos considerando temos que a velocidade inicial da energia cinética inicial é igual a velocidade final que encontramos no passo anterior. Então:

m + M v f 2 2 + 1 2 k Δ x i 2 = m + M v f ' 2 2 + 1 2 k Δ x f 2

Lembrando que inicial a mola não tem compressão nenhuma logo Δ x i = 0 e no final temos a compressão máxima Δ x f = d e com isso temos que a velocidade final v f ' = 0 , assim ficamos com:

m + M v f 2 2 = 1 2 k d 2

Agora vamos substituir v f pela expressão que encontramos no passo anterior, assim temos:

m + M 2 m m + M 2 v B 2 = 1 2 k d 2

⇒ m 2 m + M v B 2 = k d 2

Então isolando v B temos o seguinte:

v B 2 = m + M k d 2 m 2

⇒ v B = m + M k d 2 m 2

Prontinho! Encontramos a expressão que ( a ) queria.

Passo 4

Agora vamos em busca do item ( b ) .

O que temos que fazer aqui é pegar a expressão do passo anterior substituir os valores dados pelo enunciado e calcular v B , temos então o seguinte:

v B = m + M k d 2 m 2

⇒ v B = 0,005 + 2 ( 50 ) ( 0,1 ) 2 ( 0,005 ) 2

Onde passamos as massas para k g e a compressão d para m , vamos calcular então, temos:

v B = 1,0025 0,000025

= 40100

Então temos que:

v B = 200,25   m / s

Passo 5

Agora vamos encontrar o que o item ( c ) quer. Temos que achar a energia perdida com a colisão.

Temos que a energia cinética do sistema é a seguinte:

K i = m v B 2 2

A energia cinética que sobrou depois da colisão é dada por:

K f = m + M v f 2 2

Subtraindo uma da outra e dividindo pela energia total do sistema antes da colisão temos:

1 2 m v B 2 - 1 2 m + M v f 2 1 2 m v B 2

= 1 - m + M m v f 2 v B 2

Agora vamos usar a expressão para v f dada por:

v f = m v B m + M

Assim ficamos com:

1 - m + M m 1 v B 2 m m + M 2 v B 2

= 1 - m m + M

Agora usando os valores para as massas que temos, ficamos com:

1 - 0,005 0,005 + 2 = 0,997

Passando para porcentagem temos uma perda de 99,7   % .

Essa energia bem dizer foi dissipada dentro do bloco já que não temos nenhuma força dissipativa como o atrito. E ela foi dissipada em sua maior parte em energia térmica.

Resposta

( a )

v B = m + M k d 2 m 2

( b )

v B = 200,25   m / s

( c )

Uma perda de 99,7   % da energia cinética dissipada dentro do bloco.

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