Enunciado

20. Difração e interferência combinadas. Considere a figura de interferência produzida por duas fendas paralelas de largura a e distância d , em que d = 3 a . As fendas são iluminadas por uma luz que incide normalmente com um comprimento de onda λ . a ) Primeiramente desprezaremos os efeitos de difração devidos à largura da fenda. Em que ângulos θ formados com o máximo central ocorrerão os próximos quatro máximos na figura de interferência de fenda dupla? A sua resposta deve ser dada em termos de d e λ . b ) Agora incluiremos os efeitos de difração. Se a intensidade em θ é I 0 , qual é a intensidade em cada um dos ângulos da parte a ? c ) Quais máximos da interferência de fenda dupla estão ausentes na figura? d ) Compare os seus resultados com aqueles apresentados na Figura 36.12 c . Em que seu resultado difere?

Passo 1

Bem, vamos lá!

No item ( a ) estamos desconsiderando o efeito de difração que vem da largura da fenda e considerando apenas a interferência entre as fendas, os ângulos θ onde temos interferências construtivas são dados pela seguinte equação.

d sen ⁡ θ = m λ

Como o enunciado os próximos quatro máximos, temos que m = 1,2 , 3,4 .

Agora para o item ( b ) temos os efeitos de difração inclusos junto com a interferência, temos que a intensidade é dada por:

I = I 0 cos 2 ⁡ ϕ 2 sen ⁡ β 2 β 2 2

Mas onde encaixamos θ ? Não crie pânico meus caros, lembrando que β e ϕ são encontrados através das seguintes relações:

β = 2 π λ a sen ⁡ θ

ϕ = 2 π d λ sen ⁡ θ

Achamos onde encaixamos o θ .

Para encontrar os máximos que estariam ausentes nas figuras, temos que lembrar que temos a combinação dos máximos da interferência que são dados por

d sen ⁡ θ = m i λ

⇒ 3 a sen ⁡ θ = m i λ

com os mínimos da difração dados por

a sen ⁡ θ = m d λ

Basta analisarmos quando temos o caso que os dois coincidem para sabermos os máximos de interferência somem.

Passo 2

Vamos encontrar os ângulos pedidos em ( a ) para m = 1,2 , 3,4 .

Para m = 1 , temos:

d sen ⁡ θ 1 = m λ

⇒ d sen ⁡ θ 1 = λ

⇒ sen ⁡ θ 1 = λ d

Para m = 2 , temos:

d sen ⁡ θ 2 = m λ

⇒ d sen ⁡ θ 2 = 2 λ

⇒ sen ⁡ θ 2 = 2 λ d

Para m = 3 , temos:

d sen ⁡ θ 3 = m λ

⇒ d sen ⁡ θ 3 = 3 λ

⇒ sen ⁡ θ 3 = 3 λ d

Para m = 4 , temos:

d sen ⁡ θ 4 = m λ

⇒ d sen ⁡ θ 4 = 4 λ

⇒ sen ⁡ θ 4 = 4 λ d

Eu deixei em termos de sen ⁡ θ , para facilitar nossa vida, já que é essa informação que vamos usar no item ( b ) , mas para achar θ em si basta fazer arco seno.

Passo 3

Vamos encontrar a intensidade para cada ângulo θ , vamos fazer primeiro para θ 1 , temos:

I = I 0 cos 2 ⁡ ϕ 2 sen ⁡ β 2 β 2 2

Vamos encontrar β e ϕ , para θ 1 , assim temos:

β = 2 π λ d 3 λ d

⇒ β = 2 π 3

ϕ = 2 π d λ λ d

⇒ ϕ = 2 π

Assim, a intensidade fica:

I = I 0 cos 2 ⁡ 2 π 2 sen ⁡ 2 π / 3 2 2 π / 3 2 2

= I 0 1 sen ⁡ π / 3 π / 3 2

Então temos que:

I = 0,684 I 0

Passo 4

Agora para θ 2 , temos:

I = I 0 cos 2 ⁡ ϕ 2 sen ⁡ β 2 β 2 2

Vamos encontrar β e ϕ , para θ 2 , assim temos:

β = 2 π λ d 3 2 λ d

⇒ β = 4 π 3

ϕ = 2 π d λ 2 λ d

⇒ ϕ = 4 π

Assim, a intensidade fica:

I = I 0 cos 2 ⁡ 4 π 2 sen ⁡ 4 π / 3 2 4 π / 3 2 2

= I 0 1 sen ⁡ 2 π / 3 2 π / 3 2

Então temos que:

I = 0 , 171 I 0

Passo 5

Agora para θ 3 , temos:

I = I 0 cos 2 ⁡ ϕ 2 sen ⁡ β 2 β 2 2

Vamos encontrar β e ϕ , para θ 3 , assim temos:

β = 2 π λ d 3 3 λ d

⇒ β = 2 π

ϕ = 2 π d λ 3 λ d

⇒ ϕ = 6 π

Assim, a intensidade fica:

I = I 0 cos 2 ⁡ 6 π 2 sen ⁡ 2 π 2 2 π 2 2

= I 0 1 sen ⁡ π π 2

Então temos que:

I = 0

Passo 6

Agora para θ 4 , temos:

I = I 0 cos 2 ⁡ ϕ 2 sen ⁡ β 2 β 2 2

Vamos encontrar β e ϕ , para θ 4 , assim temos:

β = 2 π λ d 3 4 λ d

⇒ β = 8 π 3

ϕ = 2 π d λ 4 λ d

⇒ ϕ = 8 π

Assim, a intensidade fica:

I = I 0 cos 2 ⁡ 8 π 2 sen ⁡ 8 π / 3 2 8 π / 3 2 2

= I 0 1 sen ⁡ 4 π / 3 4 π / 3 2

Então temos que:

I = 0 , 0427 I 0

Passo 7

Agora vamos analisar a situação do item ( c ) , como eu tinha falado no passo 1 , temos que analisar quando o máximo da interferência ocorre com o mínimo da difração, temos as seguintes expressões:

3 a sen ⁡ θ = m i λ

⇒ a sen ⁡ θ = m i 3 λ

a sen ⁡ θ = m d λ

Pensa aqui comigo, as duas situações vão ocorrer ao mesmo tempo quando

m i 3 = m d

⇒ m i = 3 m d

Então temos que os máximos que não vão aparecer na figura os que tem m i = 3,6 , 9 , … , para m d = 1,2 , 3 , … , isso quer dizer que a cada dois máximos o terceiro vai está faltando.

Esse resultado que encontramos é parecido com o da figura 36.12 c o que difere eles é que na situação da figura temos d = 4 a , então a cada três máximos o quarto vai faltar.

Resposta

( a )

sen ⁡ θ 1 = λ d

sen ⁡ θ 2 = 2 λ d

sen ⁡ θ 3 = 3 λ d

sen ⁡ θ 4 = 4 λ d

( b )

I 1 = 0,684 I 0

I 2 = 0,171 I 0

I 3 = 0

I 4 = 0,0427 I 0

( c )

Então temos que os máximos que não vão aparecer na figura os que tem m i = 3,6 , 9 , … , para m d = 1,2 , 3 , … , isso quer dizer que a cada dois máximos o terceiro vai está faltando.

( d )

O resultado que encontramos é parecido com o da figura 36.12 c o que difere eles é que na situação da figura temos d = 4 a , então a cada três máximos o quarto vai faltar.

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