Enunciado

73 . A corrente de um feixe de elétrons, todos com uma velocidade de 900   m / s , é 5,00   m A . Se o feixe incide em um degrau de potencial com uma altura de - 1,25   μ V , quanto é a corrente do outro lado do degrau?

Passo 1

Vem comigo que a gente resolve essa juntos!

Para encontrarmos a corrente do outro lado do degrau temos que saber o coeficiente de transmissão nesse degrau para os elétrons com uma certa energia. Para encontrarmos esse coeficiente de transmissão, vamos usar o seguinte:

T = 1 - R

Para encontrar R temos que avaliar as funções de onda do elétron nessas duas regiões, para a região 1 , temos:

ψ 1 x = A e i k 1 x + B e - i k 1 x

E para a região 2 , temos:

ψ 2 x = C e i k 2 x

Que são as equações ( 38 - 31 ) e ( 38 - 33 ) do livro.

Tendo isso vamos usar as condições de contorno ao nosso favor e assim calcular o coeficiente de reflexão que é dado pelo módulo quadrado da razão entre o coeficiente da onda refletida ( B ) sobre o da onda incidente ( A ) .

E vamos precisar calcular os vetores de onda k 1 e k 2 , podemos usar a seguinte equação:

k = 2 π h 2 m E T

Onde E T é a energia total do feixe de elétrons na região que temos interesse, na região 1 como o enunciado nos dá a velocidade do elétron, a energia vai ser igual a energia cinética K do elétron, já na região 2 como temos a energia potencial, a energia total vai ser dada por E T = K - U b .

Mas o enunciado nos dá o potencial elétrico na região 2 para encontramos a energia potencial elétrica vamos usar o fato que:

U = q V

Onde q nesse caso é carga do elétron - e e V o potencial que temos - 1,25   μ V , assim:

U b = 1,25   μ e V

Vem comigo então!

Passo 2

Vamos primeiro achar a energia K , temos:

K = m v 2 2

A massa m do elétron é dada por m = 9,11 × 10 - 31   k g e a velocidade o enunciado já deu, assim:

K = ( 9,11 × 10 - 31 ) ( 900 ) 2 2 = 3,69 × 10 - 25   J

Agora podemos calcular k 1 , temos:

k 1 = 2 π h 2 m K

A constante de Planck h = 6,626 × 10 - 34   J ⋅ s , assim:

k 1 = 2 π 6,626 × 10 - 34 2 ( 9,11 × 10 - 31 ) ( 3,69 × 10 - 25 )

= 9,48 × 10 33 6,72 × 10 - 55

Então temos que:

k 1 = 7,77 × 10 6   m - 1

Passo 3

Na região 2 , temos que E T = K - U b , onde U b = 1,25   μ e V passando para Joules temos U b = 2 × 10 - 25   J , assim E T = 1,69 × 10 - 25   J

Substituindo os valores na equação temos:

k 2 = 2 π 6,626 × 10 - 34 2 ( 9,11 × 10 - 31 ) ( 1,69 × 10 - 25 )

= 9,48 × 10 33 3,08 × 10 - 55

Então temos que:

k 2 = 5,26 × 10 6   m - 1

Passo 4

Temos as seguintes funções de onda:

ψ 1 x = A e i k 1 x + B e - i k 1 x

ψ 2 x = C e i k 2 x

Temos que aplicar as condições de contorno para as funções de onda, essas condições são ψ 1 0 = ψ 2 ( 0 ) e ψ 1 ' 0 = ψ 2 ' ( 0 ) .

Aplicando a primeira, temos:

A + B = C

Aplicando a segunda, temos:

A k 1 - B k 1 = C k 2

⇒ A k 1 k 2 - B k 1 k 2 = C

Substituindo essa equação na primeira que encontramos, temos:

A + B = A k 1 k 2 - B k 1 k 2

⇒ - A 1 - k 1 k 2 = B 1 + k 1 k 2

A = - B 1 + k 1 k 2 1 - k 1 k 2

Achamos uma relação entre A e B , agora podemos calcular o coeficiente de reflexão R .

Passo 5

Temos o seguinte então:

R = B A 2

Usando o que encontramos, temos:

R = B - B 1 + k 1 k 2 / 1 - k 1 k 2 2 = 1 - k 1 k 2 1 + k 1 k 2 2

Substituindo os valores de k 1 e k 2 , encontramos que:

R = 0 , 0375

Passo 6

Agora podemos calcular o coeficiente de transmissão T , temos:

T = 1 - R

= 1 - 0,0375

Então:

T = 0,9625

Agora podemos calcular a corrente transmitida, da seguinte forma:

I T = T I i

= ( 0,9625 ) ( 5,00   m A )

⇒ I T = 4,81   m A

Detonamos com essa questão juntos!

Resposta

I T = 4,81   m A

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