Enunciado

76. A equação mgy para a energia potencial gravitacional é válida somente para objetos próximos à superfície de um planeta. Considere dois objetos muito grandes, de massas m 1 e m 2 , tais como estrelas e planetas, cujos centros estão separados por uma grande distância r. Esses dois grandes objetos exercem forças gravitacionais um sobre o outro. No Capítulo 13, você aprenderá que a energia potencial gravitacional é dada por

U = - G m 1 m 2 r

onde G =   6,67 ⋅   10 11   N ⋅ m 2 / k g 2 é chamada de constante da gravitação universal.

a. Esboce um gráfico de U versus r . A dificuldade matemática em r = 0 não constitui um problema físico significativo porque as massas colidirão antes de seus centros se aproximarem muito.

b. Que separação r foi escolhida como a situação em que a energia potencial é nula? Isso faz sentido? Explique.

c. Duas estrelas encontram-se em repouso relativo, separadas por 1,0 ⋅ 10 14   m . Isso corresponde a aproximadamente 10   vezes o diâmetro do Sistema Solar. A primeira delas é do tamanho do Sol, com uma massa de   2,0 ⋅ 10 30   k g e um raio de 7,0 ⋅ 10 8   m . A segunda estrela possui uma massa de 8,0 ⋅ 10 30   k g e um raio de 11,0 ⋅ 10 8   m . Elas se atraem por forças gravitacionais. Quais serão os valores de velocidade das estrelas no momento do impacto?

Passo 1

a) Aqui vamos nós! Olha só! O que a gente tem que fazer aqui, é esboçar o gráfico de U em função de r , baseado na fórmula abaixo...

U = - G m 1 m 2 r

Pela fórmula, considerando ( G m 1 m 2 ) constante, podemos ver que se U aumentar, a distância r irá diminuir.

Se ocorrer o contrário e U diminuir, é porque r irá aumentar. Logo, dá pra deduzir que o nosso gráfico é uma hipérbole, o mesmo gráfico por exemplo, para a equação abaixo...

y = 1 x

Cuja forma já estamos cansados de saber.

Sendo assim, o nosso gráfico de U versus r fica do seguinte modo...

Uma vez que o sinal da nossa fórmula é negativo, todos os valores de energia potencial são negativos. Isto é claro, para r > 0 .

Passo 2

b) Em seguida, vamos determinar a situação em que a energia potencial é nula.

Bem! Peguemos a fórmula abaixo.

U = - G m 1 m 2 r

E depois peguemos um valor de r muito grande, lá na casa dos 10 30 m ! O que vai acontecer!?

Ora bolas! A energia potencial vai diminuir bastante! De forma que se aproxima de zero!

Sendo assim, fica moleza compreender que se r tenter ao infinito ( r → ∞ ) , ira acontecer o seguinte...

U → 0

E é nessa situação que a energia potencial será nula.

Passo 3

c) Essa letra aqui vai dar um pouquinho mais de trabalho...

Por isso, vamos fazer um desenho pra representar o que está acontecendo em nosso probleminha...

Bom! Podemos ver que pela figura temos um antes e um depois. É a situação perfeita pra aplicar a conservação de energia mecânica! Fazendo isso...

K a n t e s + U a n t e s = K d e p o i s + U d e p o i s

Lembrando que a nossa energia potencial aqui, é a energia potencial gravitacional. Dito isso, a nossa fórmula anterior passa a ter a seguinte cara...

1 2 m 1 v 1 i 2 + 1 2 m 1 v 2 i 2 - G m 1 m 2 r i = 1 2 m 1 v 1 f 2 + 1 2 m 2 v 2 f 2 - G m 1 m 2 r f

Como...

v 1 i = v 2 i = 0

Rearrajando a expressão...

1 2 m 1 v 1 f 2 + 1 2 m 2 v 2 f 2 = G m 1 m 2 r f - G m 1 m 2 r i

1 2 m 1 v 1 f 2 + 1 2 m 2 v 2 f 2 = G m 1 m 2 1 r f - 1 r i   ( i )

Obtemos uma relaçãoazinha legal! Mas ainda não podemos obter nada, pois ainda estamos em função de duas variáveis.

Passo 4

Sendo assim, vamos aplicar a conservação do momento linear...

p a n t e s = p d e p o i s

m 1 v 1 i + m 2 v 2 i = m 1 v 1 f + m 2 v 2 f

Como...

v 1 i = v 2 i = 0

Então...

m 1 v 1 f + m 2 v 2 f = 0

v 2 f = - m 1 v 1 f m 2   ( i i )

Substituindo ( i i ) em ( i ) :

1 2 m 1 v 1 f 2 + 1 2 m 2 - m 1 v 1 f m 2 2 = G m 1 m 2 1 r f - 1 r i

1 2 m 1 v 1 f 2 + 1 2 m 2 m 1 2 v 1 f 2 m 2 2 = G m 1 m 2 1 r f - 1 r i

1 2 m 1 v 1 f 2 + 1 2 m 1 2 v 1 f 2 m 2 = G m 1 m 2 1 r f - 1 r i

Isolando v 1 f :

v 1 f 2 1 2 m 1 + 1 2 m 1 2 m 2 = G m 1 m 2 1 r f - 1 r i

v 1 f 2 1 2 + 1 2 m 1 m 2 = G m 2 1 r f - 1 r i

v 1 f 2 2 1 + m 1 m 2 = G m 2 1 r f - 1 r i

v 1 f 2 = 2 G m 2 ( 1 + m 1 / m 2 ) ⋅ 1 r f - 1 r i

v 1 f 2 = 2 G m 2 2 ( m 1 + m 2 ) ⋅ 1 r f - 1 r i

v 1 f = 2 G m 2 2 ( m 1 + m 2 ) ⋅ 1 r f - 1 r i

v 1 f = 2 G m 2 2 ( m 1 + m 2 ) ⋅ 1 R 1 + R 2 - 1 r i

E subsituindo os valores numéricos adequados, que estão naquele belíssimo esboço que fizemos...

v 1 f = 2 G m 2 2 ( m 1 + m 2 ) ⋅ 1 R 1 + R 2 - 1 r i

v 1 f = 2 ( 6,67 ⋅   10 11   N ⋅ m 2 / k g 2 ) ( 2,0 ⋅ 10 30   k g ) 2 ( 8,0 ⋅ 10 30   k g + 2,0 ⋅ 10 30   k g ) ⋅ 1 18,0 ⋅ 10 7   m - 1 1,0 ⋅ 10 14   m

v 1 f = 1,72 ⋅ 10 5   m / s

Obtemos o valor da velocidade da estrela de maior massa!

Em seguida, pegando a equação ( i i ) :

v 2 f = - m 1 v 1 f m 2

v 2 f = - ( 8,0 ⋅ 10 30   k g ) ( 1,72 ⋅ 10 5   m / s ) 2,0 ⋅ 10 30   k g

v 2 f = -   6,88 ⋅ 10 5   m / s

Aproveitando apenas o valor absoluto...

v 2 f =   6,88 ⋅ 10 5   m / s

Conseguimos a outra velocidade para a estrela de menor massa!

E pronto! Finalizamos aqui!

Resposta

a)

b)

U → 0   q u a n d o   r → ∞

c)

v 1 f = 1,72 ⋅ 10 5   m / s

v 2 f = 6,88 ⋅ 10 5   m / s

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