Enunciado

81- No sistema massa-mola da Fig. 7-10, a massa do bloco é 4,00 kg e a constante elástica da mola é 500 N/m. O bloco é liberado da posição x i = 0.300   m . Determine (a) a velocidade do bloco no ponto x = 0, (b) o trabalho realizado pela mola quando o bloco chega ao ponto x = 0, (c) a potência instantânea desenvolvida pela mola no momento em que o bloco é liberado, (d) a potência instantânea desenvolvida pela mola quando o bloco está passando pelo ponto x = 0 e (e) a posição do bloco no instante em que a potência desenvolvida pela mola é mínima.

Passo 1

Vamos colocar aqui a figura 7 - 10 só para sabermos do que se trata.

Na posição inicial a energia é puramente elástica, tendo como módulo igual a:

E e l - m a x = 1 2 K Δ x 2

b) Com K = 500   N / m e Δ x = 0.3   m temos o trabalho da mola da sua posição de origem até x = 0 igual a:

E = 250 × 0.3 2 = 22.5   J

No ponto de x = 0 toda essa energia elástica vira energia cinética, logo:

22.5 = m v 2 2

Já que a massa é de 4   k g .

v = 2 × 22.5 4 = 3.35   m / s

Passo 2

A potência é calculada pela seguinte fórmula.

P = F v

c)E no instante em que ela é solta a sua velocidade inicial é de 0   m / s , logo a potência nesse instante será de 0 W

d) Quando passa pela posição de x = 0 a massa terá uma velocidade de 3.35   m / s só que a força atuando sobre ela é de 0   N , já que a mola não estará esticada então a potência nesse instante também será de 0   W .

Passo 3

A potência de qualquer corpo pode ser calculada pela equação.

P = F v

Como interessados na potencia elástica nós temos que saber que a equação da força elástica vale:

F e l = K ( x f )

Pois a força da mola somete depende da posição final da mola em relação a posição inicial que é em x = 0 .

E que a velocidade pode ser adquirida pela energia cinética

m v 2 2 = K ( x f 2 - x i 2 ) 2

v = K m x f 2 - x i 2

Logo:

P = K x f × K m x f 2 - x i 2

Considerando x i = 0 podemos calcular a potencia instantânea que será:

P = K 3 m x f 4 - x i 2 x f 2

Derivando em relação a x f essa equação (uma vez que x i é um valor constante) nós encontraremos:

d P d x f = K 3 m 4 x f 3 - 2 x i 2 x f 2 K 3 m x f 4 - x i 2 x f 2

Para encontrarmos a potência mínima precisamos igualar-la a zero, isso nos dá:

4 x f 3 - 2 x i 2 x f = 0

Como x i = 0.3 temos:

4 x f 3 - 0.18 x f = 0

Assumindo x f não está em zero, temos:

4 x f 2 = 0.18

Isso nos faz encontrar:

x f = 0.18 4 = + 0.212   m

Resposta

a )   3.35   m / s

b )   22.5   J

c )   0   W

d )   0   W

e )   x = 0.212   m

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