Enunciado

De acordo com certo modelo, a massa específica da Terra varia com a distância r do centro conforme ρ = C 1,22 - r R , onde R é o raio da Terra e C é uma constante. (a) Determine   C em termos da massa total M e do raio R . (b) De acordo com este modelo, qual é o momento de inércia da Terra em relação a um eixo que passa pelo seu centro? (Veja o problema 53.)

Passo 1

a) Cara, me conta, cê tá bem?

Então, ele deu o valor da massa específica da Terra:

ρ = C 1,22 - r R

E ele quer uma expressão para C   em função da massa total da Terra M e o raio dela R . Uma boa forma de fazer isso é achar uma expressão da massa total da Terra em função de C , aí a gente isola C , beleza?

Mas então, como a massa específica é variável (depende de r ), a gente precisa usar integral para achar a massa total M . A massa pode ser calculada como:

M = ∫ d m

Esse d m é a massa de um pedacinho da Terra. Aí a gente usa a integral para somar a massa de todos esses pedacinhos e achar a massa total.

Bora montar essa bonita!

Passo 2

Então, d m é a massa de um pedacinho, né A gente precisa escrever ele em função de r e d r porque nossa função C tem variável r .

Bem, para fazer isso a gente pode usar a definição de massa específica:

ρ = M V → M = ρ V

Se o nosso pedacinho da Terra tem massa d m   e volume d V , então a gente pode escrever que

d m = ρ d V

E como escreve d V em função de r e d r ? Cara, vamos precisar usar derivadas. O volume da Terra pode ser aproximado por uma esfera, certo? O volume de uma esfera de raio r vale:

V = 4 π r 3 3

Se a gente derivar em relação a r e isolar d V

d V d r = 4 π 3 3 r 2

d V = 4 π r 2 d r

Então temos

d m = ρ

d m = ρ 4 π r 2 d r

Substituindo na nossa integral:

M = ∫ d m

M = ∫ ρ 4 π r 2 d r

Passo 3

Agora quais são os extremos de integração da nossa querida integral? Cara, r é a distância do centro da Terra até um ponto da Terra. O menor valor que ele tem é r = 0 e o maior é o raio da Terra mesmo r = R . Nossos extremos de integração são:

0 < r < R

Então nossa integral fica:

M = ∫ 0 R 4 π ρ r 2 d r

Substituindo ρ = C 1,22 - r R

M = ∫ 0 R 4 π r 2 C 1,22 - r R d r

Rearrumando a integral

M = 4 π C ∫ 0 R r 2 1,22 - r R d r

M = 4 π C ∫ 0 R 1.22 r 2 d r - 4 π C R ∫ 0 R r 3 d r

Resolvendo essas duas integrais que apareceram

M = 4 π C 3 × 1.22 R 3 - π C R 3

M = π C R 3 4,88 3 - 1

M = 1.63 × π C R 3

Isolando C dessa expressão

C = 0.508 M R 3

Passo 4

b) Então, a gente quer o momento de inércia da Terra em relação a um eixo que passa pelo centro dela.

O momento de inércia de uma esfera de raio r e massa m com relação a um eixo que passa pelo seu centro é:

I = 2 5 m r 2

Só que isso só vale se a massa específica da esfera for constante. Mas a gente viu que a nossa ρ varia. Então o que a gente faz? Chora? Não, calma, amigo. Lutando um pouco mais a gente consegue.

A gente pode usar essa expressão para saber quanto seria o momento de inércia d I de um pedaço bem pequeno da esfera de massa d m que está posicionado em um valor genérico r . Como? Derivando! Vamos ver como.

Passo 5

A gente vai querer usar a nossa expressão de ρ , porque ela que descreve a distribuição de massa da Terra. Então vamos fazer aparecer ρ naquela expressão de I antes de derivar.

Vimos que

ρ = m V → m = ρ V

E que para uma esfera de raio r :

V = 4 π r 3 3

Substituindo

m = ρ 4 π r 3 3

Substituindo isso na expressão de I :

I = 2 5 m r 2

I = 2 5 ρ 4 3 π r 3 r 2 = 8 15 ρ π r 5

Passo 6

Derivando em relação a r :

d I d r = 8 3 ρ π r 4

Isolando d I e arrumando:

d I = 8 3 ρ π r 4 d r

d I = 8 3 π C 1,22 - r R r 4 d r

Substituindo a expressão de C que a gente achou no item a):

d I = 8 3 π 0.508 M R 3 1,22 - r R r 4 d r

Passo 7

Agora pensa comigo. Esse é o momento de inércia de um pedacinho da esfera. Como a gente acha o momento de inércia de todaaa as esfera?

Somando esses vários pedacinhos usando integral! Novamente para percorrer toda a esfera, vamos ter

0 < r < R

A integral fica:

I = ∫ 0 R 4.26 M R 3 1,22 - r R r 4 d r

Rearrumando:

I = 4.26 M R 3 ∫ 0 R 1.22 r 4 d r   - 1 R ∫ 0 R r 5 d r

Integrando:

I = 4.26 M R 3 1.22 5 R 5 - 1 6 R 5

I = 0.329 M R 2

Prontinho!

Resposta

  1. C = 0.508 M R 3
  2. I = 0.329 M R 2
Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

9.19E Calcule o momento de inércia de um cubo homogêneo de massa M e aresta a em relação a um eixo passando por uma de suas arestas.
9.21P Uma roda de bicicleta tem aro externo com 30cm de raio e massa igual a 800g , e 72 hastes radiais com massa de 10g cada uma. Supondo que o aro interno tenha massa e raio desprezíveis, calcule o
9.7P Calcule o momento de inércia da régua fina mostrada na figura 9.17 em relação ao eixo E .
10.15P Calcule o momento de inércia de uma porta de largura D e massa M em relação ao eixo que passa pelas dobradiças.
Você é o gerente de projeto de uma empresa de manufatura. Uma das peças de máquina na linha de montagem é uma vareta fina e uniforme com 60,0 cm de extensão e massa de 0,400 kg. (a) Qual é o momento d