Enunciado

Um aeromodelo de massa 2,20   k g move-se no plano x-y de tal modo que suas coordenadas   x e   y variam com o tempo de acordo com x t = α - β t 3 e y t = γ - δ t 2 , onde α = 1,50 m ,     β = 0,120   m / s 3 , γ = 30 m / s e δ = 0,10 m / s 2 .

a) Ache os componentes x   e y da força resultante sobre o plano em função do tempo.

b) Faça um esboço da trajetória do avião entre t = 0 e t = 3,0   s e desenhe sobre seu esboço vetores indicando a força resultante para t   = 0 ,   t = 1,0   s ,   t =   2,0   s e t = 3,0   s . Para cada um desses tempos, relacione a direção da força resultante com a direção em que o avião está fazendo a volta, e verifique se o avião está aumentando de velocidade, ou diminuindo de velocidade (ou nenhuma das hipóteses).

c) Qual o módulo e a direção da força resultante para t = 3,0   s ?

Passo 1

Precisamos lembrar que a aceleração é a segunda derivada da posição. Então se derivarmos duas vezes as equações de movimento dadas, achamos as componentes x e y da aceleração e daí podemos achar as componentes da força resultante, beleza?

r t = x t + y t

v t = - 3 β t 2 x → + - 2 δ t y →

a t = - 6 β t x → + - 2 δ y →

Então a componente x da força será:

F x = m a x = 2,2 ⋅ - 6 β t = 2,2 ⋅ - 6.0,12 t = - 1,58 t   N

E a componente y :

F y = m a y = 2,2 ⋅ - 2 δ = 2,2 ⋅ - 2.1 , 0 = - 4,4 N

Passo 2

Vamos calcular a força nos instantes indicados:

  • t = 0 : F x = 0 ; F y = - 4,4 N . A força é puramente vertical para baixo e tem módulo de 4,4 N .
  • t = 1 : F x = - 1,58 N ; F y = - 4,4 N . A componente vertical da força resultante continua sendo maior do que a horizontal, mas já é possível identificar uma mudança na trajetória. O avião começa a fazer a curva.
  • t = 2 : F x = - 3,16 N ; F y = - 4,4 N . A componente vertical da força resultante quase se equivale a horizontal. A força resultante aponta para o meio da trajetória. O ângulo é próximo de θ = 225 ° .
  • t = 3 :   F x = - 4,74 N ; F y = - 4,4 N .

A componente vertical é nula em t = 0 e vai aumentando em módulo conforme o tempo vai aumentando. Juntando todas essas informações temos o gráfico da trajetória:

Passo 3

Em t = 3 s já calculamos as componentes no item anterior, e sabemos que a força resultante vai ser dada pela fórmula:

F = F x 2 + F y 2

Basta substituir as componentes! Vamos lá?

F = - 4,74 2 + - 4,4 2 = 6,48 N

E a direção? Bom, ela pode ser dada pelo ângulo que a força faz com a origem. Podemos relacionar a tangente do ângulo com as componentes:

t g θ = F y F x = - 4,4 - 4,74

θ = t g - 1 0,92 = 42,86 °   o u   222,86 °

Como as componentes são negativas, o ângulo é θ = 222,86 °

Resposta

a )   F x = - 1,58 t   N ; F y = - 4,4   N

b )  

c )   6,48 N ;   222,86 °

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